Geitenprobleem niet exact oplosbaar?

Beste Wisfaq,

Kunt u bewijzen dat het bekende probleem over de grazende geit niet exact oplosbaar is? (Aan de rand van een cirkelvormige weide met straal 10 staat een paal. Een koord van de nek van de geit naar de paal zorgt dat de geit juist de helft van de wei kan kaalgrazen. Bepaal de lengte L van het koord.)

Dat het míj niet lukt het stelsel vergelijking sin$\alpha$-$\alpha$cos$\alpha$=$\pi$/2 en L=10·√(2+2cos$\alpha$) exact op te lossen, wil niet zeggen dat dit onmogelijk is...

(De graascirkel overlapt gedeeltelijk de weide; teken vanuit de paal een cirkelsector begrensd door het koord van de paal tot elk van de snijpunten van de cirkels. $\alpha$ is de middelpuntshoek van deze sector.)

Dank voor uw aandacht.

Jaap
Docent - woensdag 3 maart 2004

Antwoord

Hallo, Jaap.

Ik ga er even van uit dat uw vergelijkingen correct zijn.
Teken de grafieken y = sin(x)-$\pi$/2 en y = x cos(x) in één figuur en kijk waar een snijpunt ligt. De rekenmachine geeft een decimale benadering van de x-coördinaat van het snijpunt. Probeer nu of er een gemakkelijke waarde van x (een geheel veelvoud van $\pi$/12 bijvoorbeeld) x-coördinaat van het snijpunt zou kunnen zijn.

Transcendente vergelijkingen zoals sin(x) - $\pi$/2 = x cos(x) zijn niet vaak exact oplosbaar.

Maar bewijzen? De Galoistheorie gaat over nulpunten van veeltermen, en die is al zo moeilijk.

NB als cos($\alpha$) een eenvoudige exact te berekenen waarde heeft, zal $\alpha$ een geheel veelvoud van $\pi$/12 zijn. Men kan ook aan gehele veelvouden van $\pi$/360 denken, maar dan wordt het echt ingewikkeld.

donderdag 4 maart 2004

©2001-2024 WisFaq