Draaimoment van deeltjes rond de oorsprong

ik heb gevonden dat voor een systeem van deeltjesrond de oorsprong geldt:
å text i = d/dt å L =dL/dt
i i i

waarbij å text i
i
de netto som van externe krachtmomenten op het systeem is

maar ik weet niet waarom.
zouden jullie me dit uit kunnen leggen?

Martij
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 1 maart 2004

Antwoord

Een deeltje met massa m bevindt zich op afstand r van de oorsprong, en zit aan de oorsprong vast met (bijv) een licht touwtje. Zodat wanneer de massa in beweging wordt gebracht, deze alleen een cirkelbeweging met straal r kan uitvoeren.

Welnu, om de massa te versnellen/vertragen moet er een kracht op de massa worden uitgeoefend.
Stel je oefent een kracht F uit op het deeltje, puur tangentieel (dus parallel aan de baan) dan wordt deze kracht uitgeoefend op een afstand r van de oorsprong.
Dit is hetzelfde als een krachtsMOMENT, t.
Door deze t gaat het deeltje versnellen met versnelling a = r.dw/dt (met w= hoeksnelheid)

dus F=m.a Û
F.r = m.a.r Û
t = m.a.r Û
t = m.r².dw/dt = d/dt(m.r².w)=d/dt(m.r.v)

(ik mag de d/dt buiten de haakjes halen, want r verandert toch niet)

en laat nu m.r.v het impulsmoment L zijn van het deeltje.

Dus er staat
t = dL/dt

Maar dit geldt voor 1 enkel punt-deeltje.
Voor een groter object geldt niet dat L=m.r².w omdat een groot object bestaat uit een 'heleboel' deeltjes die allemaal een verschillende afstand r tot het draaipunt hebben. Maar er geldt dat L=I.w met I="traagheidsmoment", een grootheid die afhangt van de massa en vorm van het object.

Wanneer je nu een SYSTEEM van deeltjes hebt (bijv. een fietswiel, want dat bestaat uit miljarden kleine deeltjes) dan oefenen al die onderlinge deeltjes krachten op elkaar uit. Immers als ik aan de rand van het fietswiel een kracht uitoefen (een krachtsmoment lever) dan geeft de rand van de band dat aan de binnenband door, en de binnenband dat aan de velg, en de velg geeft deze kracht weer door aan de spaken, enz...
Dit worden de INTERNE krachtsmomenten genoemd.

Nu is alleen het EXTERNE krachtsmoment van belang voor de mate waarin het impulsmoment van het wiel verandert (ofwel in welke mate het wiel een hoekversnelling ondergaat), omdat je rekening moet houden met de 3e wet van Newton.
Deze zegt dat actie=-reactie. Ofwel: de kracht die A op B uitoefent is evengroot *EN* tegengesteld gericht aan de kracht die B op A uitoefent.
Deze onderlinge krachten heffen elkaar OP!

Stel nou eens dat ik een extern krachtsmoment uitoefen op een systeem met (slechts) 4 deeltjes: 1, 2, 3 en 4.
Dan geldt voor de SOM van alle denkbare krachtsmomenten:
åt=t_ext+t_{1 op 2}+t_{2 op 1}+t_{1 op 3}+t_{3 op 1}+t_{1 op 4}+t_{4 op 1}+t_{2 op 3}+t_{3 op 2}+t_{2 op 4}+t_{4 op 2}+t_{3 op 4}+t_{4 op 3}
maar omdat t_{a op b}= - t_{b op a}
heffen AL die interne krachtsmomenten elkaar op en hou je alleen t_ext over.

hopelijk is het zo ietsje duidelijker.

groeten,
martijn

mg
maandag 1 maart 2004

©2001-2024 WisFaq