Lineaire combinatie

Wisfaq,

bij de volgende opgaven had ik graag wat hulp gehad want zelf geraak ik er niet aan uit...

1)
Toon aan dat alle vectoren van een verzameling die minstens twee lineaire afhankelijke vectoren bevat, ook lineair afhankelijk zijn...

Ik had gedacht om aan te tonen dat deze twee afh zij dus geen basis vormen en zo de rest dus ook afhankelijk moet zijn van de rest omdat ze ook geen basis vormen?... Maar dat lijkt me niet echt waterdicht...

2)
Zijn v1 en v2 Î R^n lineair onafhankelijk dan zijn ook v1 en v1 + v2 lineair onafankelijk.

Hierbij had ik ook gedacht aan: v1 en v2 zijn onafh dus vormen wellicht een basis, een combinatie van de twee veranders niets aan hun onafhankelijkheid dus blijft deze soms onafh en dus opnieuw een basis?

3) Van een niet-homogeen lineair stelsel is (5,3,0,0) een particuliere oplossing, terwijl {3t, 1-t, -t, t}; tÎR} de oplossingsverzameling is van het geassocieerd homogeen stelsel.
Schrijf de oplossingsverzameling op van het niet-homogene stelsel.

Bij deze oplossing dacht ik aan het volgende:
t buiten de haakjes plaatsen zodat je bekomt:
t(3,-1,-1,1) maar dan zit je wel met die 1-t op de tweede plats dus ik denk dat dit niet zal kloppen...

Dat was het ongeveer, ik heb proberen zo goed mogelijk aan te geven waar ik zelf was gekomen...

Anne
3de graad ASO - zaterdag 28 februari 2004

Antwoord

1) Volgens mij klopt de bewering niet. Als je bijvoorbeeld in de ² de vectoren (1,0) en (2,0) neemt, dan zijn die overduidelijk wel afhankelijk. Voeg aan deze verzameling nu de vector (0,1) toe en je hebt een verzameling waarvoor de stelling al niet meer geldt.

2) Stel v1 en (v1+v2) lineair afhankelijk. Dan geldt:
v1 = r (v1 + v2), rÎ
v1 = r v1 + r v2
(1-r) v1 = v2
Dit zou betekenen dat v1 en v2 afhankelijk zijn wat in tegenspraak is met de aanname, dus v1 en v1+v2 zijn niet afhankelijk.

3) De niet-homogene oplossing is altijd de oplossing van het bijbehorende homogene stelsel plus de particuliere oplossing. In dit geval dus (5+3t,4-t,-t,t), tÎ

Gideon
woensdag 3 maart 2004

©2001-2024 WisFaq