De som van derdemachten

Ik zit al geruime tijd mij af te vragen waarom hetgeen hieronder staat altijd klopt...

Er blijkt namelijk dat åx³ steeds gelijk is aan (åx)²

Dus als we willekeurige getallen invullen (ondergrens steeds 1!), bovengrens bv. 3, klopt het:

1³+2³+3³ =? (1+2+3)²
Ja, want 36 = 36
Zo ook voor alle getallen.

Ik kan maar niet begrijpen waarom dit kan. Ik heb het geprobeerd door volledige inductie, maar er moet toch een veel logischer verklaring zijn? Zie ik er gewoon over?

Dank bij voorbaat!

Freder
3de graad ASO - vrijdag 27 februari 2004

Antwoord

Laten we eens kijken wat er gebeurt als n toeneemt van n=3 naar n=4.
Het linkerlid neemt toe met 4³.
Het rechterlid neemt toe met (1+2+3+4)²-(1+2+3)².
Dit kun je herschrijven als
(1+2+3+4+1+2+3)(1+2+3+4-1-2-3)=(1+2+3+4+1+2+3)(4);

(1+2+3+4+1+2+3)=2.(1+2+3+4)-4=2.¹/₂.4.(4+1)-4=4.(4+1)-4=4.4
De toename is dus 4.4.4=4³.
Omdat het klopt voor n=3 klopt het dus ook voor n=4.
Dit kun je ook doen met de toename van n-1 naar n termen.
Toename links is n³.
Toename rechts is
(1+2+3+...n)²-(1+2+....(n-1))²=
(1+2+....n+1+2+...n-1)(n)=
(2*(1+2+...n)-n)(n)=
(2*¹/₂n(n+1)-n)(n)=
(n²+n-n)(n)=n³.
Toename links en rechts gelijk.
Omdat het klopt voor n=1,2,3,4 klopt het dus ook voor alle n.
(Dus eigenlijk wel volledige inductie)

vrijdag 27 februari 2004

Re: De som van derdemachten

©2001-2024 WisFaq