Gonio identiteit
ik probeer de volgende identiteit te bewijzen:
sin3a = 4sinasin(p/3 +a) . sin(p/3 -a)
ik heb al geprobeerd van de som en verschilformules op de twee sinussen toe te passen en dan bekom ik een merkwaardig product maar verder raak ik niet meer 
miss weet iemand de verdere oplossing ?
thx
jos
3de graad ASO - zondag 15 februari 2004
Antwoord
Hoi,
Eerst ga ik sin(3x) herschrijven, want da's hetzelfde als sin(2x+x). Dit kunnen we anders schrijven door de somformule van Simpson te gebruiken.
Ter informatie sin(2x) = 2sin(x)·cos(x) en cos(2x)=cos2(x) - sin2(x) (de zogeheten verdubbelingsformules).
sin(2x + x) = sin(2x)·cos(x) + cos(2x)·sin(x)
= 2sin(x)cos(x)·cos(x) + (cos2(x)-sin2(x))·sin(x)
= 2sin(x)cos2(x) + cos2(x)sin(x) - sin3(x)
= 3sin(x)cos2(x) - sin3(x).
Nu moeten we laten zien dat het rechterlid hetzelfde is als het linkerlid.
4sin(x)·sin(1/3p+x)·sin(1/3p-x)
= 4sin(x)·(sin(1/3p)·cos(x) + cos(1/3p)·sin(x))·(sin(1/3p)·cos(x)-cos(1/3p)·sin(x))
= 4sin(x)·(1/2Ö3·cos(x) + 1/2sin(x))·(1/2Ö3·cos(x)-1/2sin(x))
En het cursieve gedeelte is van de vorm (a+b)(a-b) = a2 - b2 dus...
= 4·sin(x)·((1/2Ö3·cos(x))2 - (1/2·sin(x))2)
= 4·sin(x)·(3/4·cos2(x) - 1/4·sin2(x))
= 4·sin(x)·3/4·cos2(x) - sin3(x)
= 3·sin(x)·cos2(x) - sin3(x)
Ik hoop dat alles duidelijk is, zo niet reageer dan direct.
Groetjes,
Davy.
zondag 15 februari 2004
©2001-2024 WisFaq
|