Bewijs met volledige inductie: n! > n²

Hiervan heb ik een bewijs staan in een cursus, maar ik begrijp bepaalde stappen niet goed..hopelijk kunt u mij hier wat uitleg bij geven:

n! n² voor n 4 met n Î

1)de stelling geldt voor n4, dus als basis kiest men n=4
dit geeft: 24 = 1*2*3*4 = 4! 4² = 16

2)men stelt dat de stelling geldt voor n=k en gaat na voor n=k+1, dus:
TB: (k+1)! (k+1)²
B: (k+1)! = (k+1)*k!
en (k+1)*k! (k+1)*k², wat volgt uit de stelling en waarbij beide leden vermenigvuldigd zijn met (k+1).
Daarna doet men dit:
Voldoende TB: (k+1)*k² (k+1)², wat men uitwerkt tot:
Voldoende TB: k³ 2k+1.
Daar k4, hebben we k³ = k²*k 16k 3k = 2k+k 2k+1.
Dus k³ 2k+1.

Er zijn 2 dingen die ik niet begrijp:
1. waarom geldt deze stelling voor n 4? Het is toch duidelijk dat de stelling bij n=4 niet klopt? (men plaatst er een gelijkheidsteken bij). Iets gelijkaardigs keert terug bij 16k 3k? Het is toch duidelijk dat dit strikt groter is, dus waarom geldt dan niet dat k³ 2k+1? En ook bij 2k+k 2k+1.

2. het 2e wat ik niet goed begrijp is de stap van B naar Voldoende TB. Ik begrijp dat men de faculteit wegwerkt tot machten om makkelijk mee te kunnen werken, maar ik begrijp niet hoe men aan de vergelijking (k+1)*k² (k+1)² komt.
Ik heb reeds geprobeerd om beide stappen in elkaar te passen, maar zonder resultaat.

Alvast bedankt voor enige hulp die u kan bieden.

Mvg,
Tom

Tom
Student universiteit - maandag 9 februari 2004

Antwoord

De stelling klopt wel degelijk voor n=4.
4! is gelijk aan 24, en 4² is gelijk aan 16, en 24 16
Dus dat gelijkteken staat er helemaal terecht.
De tweede en derde keer heb je wel gelijk: daar hadden ze ook wel een kunnen gebruiken. Maar: er is al in een eerder stadium een aangetoond, dus mag je volstaan in je bewijs met een . Het is dus niet fout, maar inderdaad een beetje raar.

Dan de stap naar: voldoende TB.
Je moet aantonen dat (k+1)! (k+1)²
Je weet dat (k+1)! = (k+1)·k! en dat dit volgens de inductieaanname groter is dan (k+1)·k²
Nu moet je dus hiermee verder, en dus aantonen dat dit laatste (k+1)² is. Zo komt men aan
TB: (k+1)·k² (k+1)²
TB: k³ + k² k² + 2k + 1
TB: k³ 2k + 1
enz.
Ik hoop dat het zo iets duidelijker geworden is. Valt niet mee zo via tekst...
succes,

maandag 9 februari 2004

©2001-2024 WisFaq