Argument van z weergeven in een formule?

Beste …
Ik had een vraagje over complexe getallen.
We moeten van onze leraar een andere oplossing zien te vinden om het argument te weergeven van een complex getal.
Wij hadden tan (a/b)=arg(z) alleen dit geldt alleen als a en b beide positief zijn en het argument kan dan maar van 0 tot een halve pie liggen. Hoe moet ik dit netjes formuleren zodat het ook een argument met interval van 0-pie wordt?want dit is het hoofdargument neem ik aan…
Alvast bedankt,
Groetjes Linda

linda
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 9 februari 2004

Antwoord

dag Linda,

Eerst maar even wat duidelijkheid scheppen in de vraagstelling. Wat is a en wat is b?
Gezien jouw formule tan(a/b)=arg(z) lijkt het er op, dat geldt: z = a·i + b
Dit wijkt af van de gebruikelijke notatie:
z = a + b·i
Al valt daar wel mee te leven: ik ga toch maar over op de gebruikelijke notatie.
Dan over die formule: die is niet correct, zelfs niet van 0 tot p/2.
Het moet namelijk zijn:
tan(arg(z)) = b/a
Ofwel: arg(z) = arctan(b/a)
Deze formule geldt voor alle waarden van het eerste en vierde kwadrant, dat wil zeggen: voor alle positieve a.
Als a negatief is, dan ligt z in het tweede of derde kwadrant, en dan moet bij de berekende arctan(b/a) nog p opgeteld of afgetrokken worden.
Als a = 0, dan is arg(z) = p/2 of -p/2.
Het argument is een getal uit het (halfopen) interval
-p,p]
De kortste formulering die ik kan bedenken is:
Als a0, dan arg(z)=arctan(b/a)
Als a0 en b0 dan arg(z)=arctan(b/a)+p
Als a0 en b0 dan arg(z)=arctan(b/a)-p
Als a=0 en b0, dan arg(z)=p/2
Als a=0 en b0, dan arg(z)=-p/2
Als a=0 en b=0 dan is het argument niet gedefinieerd
Hopelijk is dit een bevredigend antwoord.
groet,

maandag 9 februari 2004

©2001-2024 WisFaq