Twee getallen

Je hebt 2 getallen, groter dan 1 kleiner dan 50. Aan meneer P deel je het product van de getallen mede en aan meneer S deel je de som mede.

• De vraag van beide luidt: wat is het getal?

Het volgende gesprek vind plaats:

P: "ik weet het niet"
S: "dat wist ik al"
P: "nu weet ik het"
S: "nu weet ik het ook"

• Wat zijn de getallen?

hub
Student hbo - woensdag 4 februari 2004

Antwoord

Een leuk raadsel inderdaad, met flink wat denkwerk en schrijfwerk...!

Ok, P weet het product (zeg a x b) en S weet de som (a + b).
Uit de eerste regel van het gesprek kunnen we het volgende afleiden:

• Het product heeft géén eenduidige ontbinding.

Als het product bijv. 20 is, zou de ontbinding 2 x 10 kunnen zijn, of 4 x 5. Maar als het product 33 is, is er maar 1 mogelijkheid (3 x 11) en zijn we klaar. Oftewel... Geen eenduidige ontbinding, dus a en b zijn niet beide een priemgetal.

Wat leert de tweede regel van het gesprek ons?

S wist al dat a en b het niet beide een priemgetal konden zijn. Nu maken we gebruik van het vermoeden van Goldbach (zie: link onderaan): "elk even getal is de som van 2 priemgetallen". Dit is nog steeds niet bewezen, maar er is ook nog geen tegenvoorbeeld gevonden en daarom mogen we wel aannemen dat dit hier geldt .

Oftewel... de som die S gehoord heeft, is oneven. Een oneven som onstaat alleen door een even getal + oneven getal.

Een andere conclusie uit de tweede regel is dat de som niet priemgetal + 2 zijn. Ga maar na... stel dat de som 33 is (mogelijkerwijs 31 + 2) dan zou het product 62 kunen zijn en deze heeft weer een eenduidige ontbinding (nl in 2 priemgetallen).

De getallen die overblijven zijn: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77, 79, 83, 87, 89, 93, 95, 97.

P weet het nu, met deze informatie. Hoe kan dat? Blijkbaar Heeft hij een getal zodanig dat als hij alle mogelijke ontbindingen nagaat en optelt, hij maar op 1 van bovengenoemde getallen uitkomt.

Met deze informatie kunnen wij proberen uit te zoeken welk product P dan heeft. Omdat het elimineren van de mogelijkheden veel werk is, doe ik een klein stukje van de redenatie voor:

Bekijk het getal (als som) 11. Mogelijkheden zijn 2+9, 3+8, 4+7, 5+6, met resp. product: 18, 24, 28, 30.

Bekijk het getal 17, mogelijkheden zijn: 2+15, 3+14, 4+13, 5+12, 6+11, 7+10, 8+9 met resp. producten: 30, 42, 52, 60, 66, 70 en 72

Ok, product 30 kan dus niet, want die heeft 2 verschillende mogelijkheden (som 11 en som 17)

Zo kan je dit nagaan voor alle producten, hiermee valt ongeveer de helft van de mogelijke producten af.

De laatste regel moeten we gebruiken om hieruit de juiste oplossing te filteren. Doordat P het weet, weet Q het ook.

Hoe kan dit?

Blijkbaar komt de som nog maar 1 keer voor in de hele lijst van mogelijkheden. Combineer dit met de eerdere conclusie dat de som zit in de rij 11, 17, 23, 27, 29... Wederom een klein stukje van de redenatie:

Als het product 18 is, zijn de mogelijke splitsingen 2x9 en 3x6 met weer som 11 en 18

Als het product 24 is, zijn de mogelijke splitsingen 2x12, 3x8 en 4x6 met weer som 14, 11 en 10

Als het product 28 is, zijn de mogelijke splitsingen 2x14 en 4x7 met weer som 16 en 11

Product 30 laten we weg (zie redenatie hierboven).

Product 42 laten we ook weg, want dit is het product van 2x21 (met som 23) en 3x14 (met som 17) etc

Enz. enz. Voor dit kleine stukje geldt alvast dat de som niet 11 is, want deze komt meerdere keren voor.

Als je alle mogelijkheden afgaat komt je tot de conclusie dat de enige unieke som 17 is (nl 4 en 13, met product 52)!

Misschien is het een goed idee, om met de oplossing het gesprek nogmaals na te gaan en te kijken of je de stappen snapt?

Succes ermee!

Erica

Zie Goldbach

Erica
vrijdag 6 februari 2004

Re: Twee getallen

©2001-2024 WisFaq