Complexe breuk

Ik zit nu met de volgende vergelijking te klieren:

{(2z+i)/(z+i)}⁴=2

Een mogelijheid is de breuk te "vereenvoudigen" tot {(2z²+iz+1)/z²+1)}=⁴Ö2.

Ik zit alleen te twijfelen, wellicht door een te kleine feeling op dit gebied, met het feit van de aanwezigheid van z. In mijn ogen is z een willekeurig functie a+bi, waardoor ik moeite heb om de breuk te vereemvoudigen. Er blijft immers z in de noemer, daarmee dus ook i.
Hou zou ik deze functie zou charmant mogelijk kunnen oplossen?

Bertil
Student universiteit - maandag 19 januari 2004

Antwoord

Wat betreft het opsmukken van de breuk, heb je helemaal de juiste weg gevolgd. Je kan inderdaad niet met zekerheid zeggen dat z²+1 reeel is, en dat zal het ook voor de meeste z niet zijn, maar dit is gewoon de gebruikelijke manier om dergelijke uitdrukkingen mooier te schrijven. Vergelijk het "wortelvrij maken" van de noemer in 1/Öa tot Öa/a, ook al weet je niets over a, dat wel eens Ö2 zou kunnen zijn.

Over het algemeen heeft het opsmukken weinig zin, zeker als je nog niet aan de eindoplossing bent. Je maakt hier wel een andere fout. Bij de overgang breuk⁴=2 naar breuk=2^(1/4), moet je wel ALLE (complexe) vierdemachtswortels van 2 in beschouwing nemen!

Je bekomt dan 4 vergelijkingen van de vorm

(2z+i)/(z+i) = w

2z+i = wz+wi
z(2-w) = i(w-1)
z = i(w-1)/(2-w)

en dus ook 4 oplossingen (behalve als (w-1)/(2-w) hetzelfde resultaat zou opleveren voor sommige van de waarden van w, maar dat zou heel toevallig zijn).

maandag 19 januari 2004

©2001-2024 WisFaq