Complexe getallen ordenen van klein naar groot

hoi, ik heb een vraagje,
we hebben i²= -1
maar, kan ik zeggen dat i 0 of i 0?
kortom, kan ik vergelijken tussen het element i en de andere elementen van ?? waarom wel/niet?
alvast bedankt..

Iverge
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 17 januari 2004

Antwoord

Het is onmogelijk om de complexe getallen te ordenen door middel van kleiner/grotertekens. Elke poging strandt omdat dan de regels van de ordening van de reële getallen onderuit gehaald worden.
Ik zal je het bewijs te schetsen.
Neem eens aan dat je stelt dat i 0 is. Als je links en rechts nu kwadrateert, dan krijg je i² 0 ofwel -1 0.
Dat is natuurlijk niet te verdedigen!
Ga nu eens uit van i 0 en kwadrateer ook. Dat geeft i² 0 hetgeen ook weer niet klopt.

Misschien vind je de tekenomslag in het laatste geval vreemd. Maar kijk eens naar 'gewone' getallen en ga eens uit van -3 0. Dit klopt natuurlijk.
Kwadratering zonder tekenomslag geeft dan 9 0, en dat klopt niet. Met tekenomslag wordt het 9 0, en dan zit het wel goed.

In ieder geval heb je gezien dat als je i het etiketje "positief" of "negatief" wilt geven, je een botsing krijgt met vaststaande feiten van reële getallen.
Nader onderzoek laat zien dat het onmogelijk is om de complexe getallen te ordenen (dat wil zeggen: onderling kun je ze niet vergelijken op groter/kleiner).

MBL
zaterdag 17 januari 2004

©2001-2024 WisFaq