Meetkunde de cirkel

Hoe construeer je een koordenvierhoek ABCD als /AB/=3cm,
/BC/=3.6 cm, /CD/=5 cm en hoek D= 70°

Ik begin altijd het lijnstuk CD te tekenen en daarna hoek D 70°. Daarna construeer ik met mijn passer het lijnstuk AB en BC. Maar als ik alle lijnen verbindt komt het nooit uit. En de cirkel errond lukt helemaal niet. Want de cirkel moet door de punten lopen.

Mieke
2de graad ASO - zaterdag 17 januari 2004

Antwoord

Beste Mieke,

Hier volgt een algebraïsche aanpak van je probleem.
Het is belangrijk dat je weet dat bij koordenvierhoeken de overstaande hoeken bij elkaar opgeteld 180 graden vormen. Dus hoek D en hoek B moeten bij elkaar 180 graden worden. Dus hoek B is dan 180 – 70 = 110 graden. Omdat je weet dat |AB| = 3 en |BC| = 3,6 en je weet dat de ingesloten hoek 110 graden daarom ligt de driehoek ABC eenduidig vast (congruentiegeval zijde-hoek-zijde).

Om nu berekeningen met driehoek ACD te kunnen uitvoeren moeten we nog één gegeven hebben, namelijk de lengte van zijde AC. Die kunnen we in driehoek ABC via cosinusregel berekenen. |AC|² = |AB|² + |BC|² - 2·|AB|·|BC|·cos(Ð ABC) dus |AC|² = 3² + (3,6)² - 2·3·(3,6)·cos(110º) = |AC| = √(29,3476…) = |AC| ≈ 5,4173

Nu gaan we in driehoek ACD hoek CAD berekenen, want dan kunnen we hoek C gemakkelijk berekenen (via som der hoeken van driehoek = 180º).
Om hoek CAD te berekenen doen we een beroep op de sinusregel.
|AC| : (sin ÐCDA) = |DC| : (sin ÐCAD)
Û sin(ÐCAD)·|AC| = |CD|·(sin ÐCDA)
Û sin(ÐCAD) = (5·sin(70°))/(5,4173...)
Þ ÐCAD = arcsin((5·sin(70°))/(5,4173...))
Þ ÐCAD = 60,146...°

Dus ÐACD = 180°-70°-60,146...° Þ ÐACD 49,9°. Teken deze hoek en de lengte van |CD| is 5. Als je vanuit D het lijnstuk naar A tekent zie je dat ÐCAD = 60,146...°

En daarmee heb je voldoende informatie om de vierhoek ABCD te tekenen. Om nu een koordenvierhoek te hebben moet er nog een cirkel omheen. Dat kun je doen door gebruik te maken van het feit dat de omgeschreven cirkel van driehoek ACD (of ABC) door alle punten gaat (want overstaande hoeken zijn 180° en daarom is het een koordenvierhoek). De omgeschreven cirkel heeft als middelpunt het snijpunt van de middelloodlijnen van elke zijde.

Als je bijvoorbeeld driehoek ABC neemt, dan teken je de middelloodlijn van zijde AB, de middelloodlijn van zijde BC (dit levert je al een snijpunt op, maar voor de volledigheid) én de middelloodlijn van AC. Deze middelloodlijnen snijden elkaar in één punt en vanuit dit punt meet je de straal af (dus vanuit dat punt bijvoorbeeld naar A) en je tekent de cirkel.



Groetjes,

Davy.

zaterdag 17 januari 2004

©2001-2024 WisFaq