Limieten en het getal e!

Men leerkracht beweert dat de volgende oefening als uitkomst " e^(1/4) " heeft, ik twijfel hier echter ten zeerste aan, kan iemand me helpen?

de oefening is:

lim gaande naar 2 van [ ( 3x - 2) / 2x ] ^[1 / (x - 2)]

alvast bedankt!

PS juist hetzelfde voor de vogende oefening, men leerkracht beweert dat de uitkomst "e" is:

lim gaande naar 1 van x ^ [1 / (x - 1)]

dit kan toch niet?
volgens mij zijn de uitkomsten respectievelijk "1" en "oneindig", klopt dit?

Jerre
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 10 januari 2004

Antwoord

Standaardlimiet: lim x $\to$ ±$\infty$ (1+1/x)^x=e
Ook: lim x $\to$ ±$\infty$ (1+a/x)^x=e^a

De tweede eerst maar eens:
lim x$\to$2 x^[1/(x-1)] = (stel x-1=y) lim y$\to$0 (y+1)^1/y = (stel z=1/y) lim z$\to$±$\infty$ (1+1/z)^z. Beide zijn nu standaardlimieten en hebben als uitkomst e.

De eerste is wat lastiger maar gaat op dezelfde manier
lim x$\to$2 [(3x-2)/2x]^[1/(x-2)] = (stel y=x-2)
lim y$\to$0 [(3y+4)/(2y+4)]^1/y = (stel 1/y=z)
lim z$\to$±$\infty$ [(3¹/_z+4)/(2¹/_z+4)]^z = (beide kanten maal z)
lim z$\to$±$\infty$ [(3+4z)/(2+4z)]^z=lim z$\to$±$\infty$ [1+ (1/(2+4z)]^z=
(dat die 2 er niet toe doet moet je nog eerst even beredeneren)
lim z$\to$±$\infty$ [1+ 1/4z]^z= lim z$\to$±$\infty$ [1+ 0,25/z]^z=e^0,25

Met vriendelijke groet

JaDeX

zaterdag 10 januari 2004

©2001-2024 WisFaq