Projectieve coördinaten en homogene coördinaten

Hallo,
We zijn momenteel bezig met de homogene en projectieve coördinaten. Ik vind het nogal moeilijk om dit visueel voor te stellen en heb twee vragen.
1. Stel je moet een transformatie uitvoeren van de ene homogene ijk naar de andere.
De nieuwe homogene ijk O1'(1,1,0); O2' (1,-1,0); 03' (1,0,1) en E' (1,0,1) t.o.v. de oude homogene ijk. De eerste twee zijn oneigenlijke punten. Je kan deze voorstellen door de rechten te bepalen met de richtingscoëfficiënt om zo tot de richting te komen. 03' wordt de nieuwe oorsprong en E' het nieuwe eenheidspunt. De rechten bepaald door 01' en 02' lopen niet door de nieuwe oorsprong 03'. Ik kan deze gewoon verschuiven (evenwijdige rechten snijden elkaar in hetzelfde oneigenlijk punt).
Zo heb ik mijn nieuw assenstelsel op papier voorgesteld.
Klopt mijn redenering?

2. I.v.m. projectieve ijken.
Het verschil tussen oneigenlijke en eigenlijke punten valt hier weg. Een projectieve ijk zijn gewoon vier punten van het vlak (geen drie van de vier collineair).
Je hebt dan vb. driehoek met als hoekpunten 01, 02 en 03. Binnenin ligt E.
Hoe moet ik vb. punt (1,1,0) en (0,2,1) op dit assenstelsel zetten. Ik heb geen idee hoe ik hier moet aan beginnen.

Alvast bedankt.
Hanne

Hanne
3de graad ASO - woensdag 7 januari 2004

Antwoord

Hallo

De manier waarop je homogene coördinatenstelsels voorstelt klopt. Je moet er wel op letten dat de oneigenlijke punten (diegene met als laatste coördinaatgetal een 0) op je papier niet kunnen voorgesteld worden als punten, je moet die voorstellen als richtingen en die kun je idd verschiven zoals je gedaan hebt.

Voor je tweede vraag is er geen enkel probleem dat je die punten niet op dat assenstelsel kan plaatsen. Je mag namelijk kiezen waar je ze zet. In een projectief coördinatenstelsel kun je namelijk geen tekeningen maken. Deze zijn ingevoerd om zoals je nog zult zien de berekeningen met rechten en krommen te vergemakkelijken. In projectieve coördinatenstelsels kun je geen correcte tekeningen maken. De enige zaken waar je moet op letten als je ergens punten zet is dat ze niet op rechten liggen waar ze volgens hun vergelijkingen niet tot behoren. Voor de rest mag je kiezen waar je ze zet. En dit is nu eenmaal het gemak van projectieve coördinaten.

Tim

tm
maandag 12 januari 2004

©2001-2024 WisFaq