Optimaliseringsprobleem

Hoi allemaal! Ik moet een vraag maken die ik niet helemaal snap. Hopelijk kunnen jullie me helpen. Hier komt de vraag:

Het theater wil naar een nieuwe voorstelling zoveel mogelijk bezoekers aantrekken. Voor een prijs van 10 euro krijgt het theater geen enkele reservering, maar telkens als ze de prijs met 0,75 euro verlagen reserveren er 50 mensen meer. Wat is hiervan de formule?

Ik had al een paar pogingen gedaan maar ik kom er echt niet uit. Ook het voorbeeld in het wiskundeboek van dit soort opdrachten is onbegrijpelijk voor iemand die niet zo slim is in wiskunde, zoals ik. Ik hoop dat jullie er wat mee kunnen. Alvast Bedankt!!

Chantal

Chanta
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 5 januari 2004

Antwoord

Beste Chantal,
Laten we de prijs p noemen en het aantal bezoekers n.
Er geldt dan dat p = 10 - x·0,75 en n = 50·x.
De omzet is dan Om = p·q = (10 - x·0,75)·50·x
Dit is weer te herschrijven naar:
Om = (500 - 37,5·x)·x
= 500x - 37,5x²
Merk op dat dit een bergparabool is. We willen dus hiervan eigenlijk de top weten.
Top = -b/(2a) = -500/(2·-37,5)
= 500/75
= 6²/₃
Ofwel we moeten de prijs 6²/₃ keer verlagen met 0,75.
Helaas mag dit waarschijnlijk niet. Dus wordt het 6 of 7 keer.
Even invullen geeft:
voor 6:
Om = (10 - 6·0,75)·50·6 = 1650
voor 7:
Om = (10 - 7·0,75)·50·7 = 1662,5
Het mag duidelijk zijn dat de omzet bij 7 keer een verlaging het hoogst is.
Je kan dit nog controleren door de prijs 8 keer te verlagen:
Om = (10 - 8·0,75)·50·8 = 1600
Conclusie:
Bij 7 keer verlagen met 0,75 is de omzet het hoogst. Dit geeft een prijs van 4,75 en het aantal bezoekers 350

Als je wel met 6²/₃ zou mogen werken, dan krijgen we dus: 10 - 6²/₃·0,75 = 5 euro per kaartje.
Het aantal bezoekers is dan:
6²/₃·50 = 333¹/₃

Hopelijk is het zo duidelijk.

M.v.g.
PHS

maandag 5 januari 2004

©2001-2024 WisFaq