Functies van twee variabelen

In de rijwielindustrie maakt de firma 'Spaak' als enige super snelle mountain bikes en daarnaast ouderwetse damesfietsen, model jaren '30. Het verbad tussen de prijs en de gevraagde hoeveelheid Mountain bikes wordt gegeven door
Q1=360-0.5P1
Hierin is P1 de prijs van een mountain bike en Q1 is het aantal mountain bikes dat per maand verkocht wordt. Het verband tussen de prijs en de gevraagde hoeveelheid damesfietsen wordt gegeven door
Q2=600-P2
Hierin is P2 de prijs van een damesfiets en Q2 is het aantal damesfietsen dat per maand verkocht wordt. De totale kosten bij een produktie van Q1 mountain bikes en Q@ damesfietsen worden gegeven door
K(Q1,Q2) = 3Q1² + Q1Q2 + Q2² + 540

Bereken voor beide soorten fietsen de verkoopprijs per stuk waarbij de winst permaand maximaal is en bereken in dat geval de maandelijkse winst.

Bereken de maximale winst als de fabriek maandelijks in totaal 100 fietsen gaat produceren en verkopen. Bereken in dat geval ook de verkoopprijzen van beide fietsen

Als de firma dit aantal van 100 fietsen met 1 eenheid wil uitbreiden, wat is dan het maximale bedrag aan extra kosten dat zij hiervoor zal willen betalen?

Bereken de maximale winst per maand en de verkoopprijzen van beide soorten fietsen als de fabriek in totaal maandelijks 200 fietsen gaat produceren en verkopen.

moppet
Student hbo - woensdag 17 december 2003

Antwoord

Winst = opbrengst - kosten
Opbrengst = aantal verkochte goederen x prijs per goed
q₁=360-0.5p₁ Û p₁=720-2*q₁
q₂=600- p₂ Û q₂=600-p₂

Dus: W(q₁,q₂)=p₁q₁+p₂q₂-K(q₁,q₂)

Û W(q₁,q₂)=(720-2*q₁)q₁+(600-p₂)q₂-(3q₁²+q₁q₂+q₂²-540)

Maximaliseren van winst betekent dat je op zoek gaat naar een extremum. Dus we hebben de partiële afgeleiden nodig van de winstfunctie naar q₁ en naar q₂.
Het optimum wordt bereikt daar waar deze partiële afgeleiden nul worden.

Na gaan of dit optimum ook een maximum is, doe je aan de hand van de Hessiaan:

Als de eerste leidende minor negatief is en de tweede leidende minor positief dan is deze matrix negatief definiet en bijgevolg is het extremum een maximum.

We hebben dus te maken met een maximum als q₁=760/13 en q₂=1760/13.
Hieruit kan je gemakkelijk p₁ en p₂ en W(760/13, 1760/13) berekenen.

Het tweede deel heeft te maken met een gebonden extremum en kan je oplossen adhv Lagrange multiplicatoren.
De vraag vertaalt zich immers naar:
Bereken de maximale winst als je weet dat q₁+q₂=100.

En nu doe je hetzelfde als hierboven. Bepaal de partiële afgeleiden, stel ze gelijk aan nul en ga na voor welke q₁,q₂ en l dit stelsel een oplossing heeft.

Vervolgens berekenen we de gerande Hessiaan. Indien de determinant hiervan positief is in ons optimum dan hebben we een maximum, indien die negatief is dan krijgen we een minimum.

We hebben dus te maken met een maximum. net als daarnet kan ju nu ook de maximale winst en de corresponderende prijzen berekenen.

Je laatste twee vragen zou je nu zelf moeten kunnen bepalen.
Als de firma dit aantal van 100 fietsen met 1 eenheid wil uitbreiden, wat is dan het maximale bedrag aan extra kosten dat zij hiervoor zal willen betalen? Bereken de maximale kost als de randvoorwaarde q₁+q₂=101 en bereken het verschil tussen de maximale winst die je nu krijgt en die je hiervoor berekend hebt.

Mvg,

Els
woensdag 17 december 2003

©2001-2024 WisFaq