Primitieve elementen in eindige lichamen

In mijn reader staat:
De veelterm M := X³-X+1 is irreducibel in het lichaam F := /(3). Dus is F/(M) een eindig lichaam met 3³=27 elementen. Dit is het Galois lichaam GF(27).

Dat M irreducibel is kan ik goed begrijpen want je kunt M onmogelijk opdelen in termen U en V die U·V=M... je houdt altijd een X² over..

Verder:
Het element a := X is primitief, dwz, een voortbrenger van de multiplicatieve groep (F/(M))^*. Ga dit na.

Hier loop ik vast. Hoe kan ik nagaan of X primitief is; enige wat ik me kan bedenken is met brute force elke macht nagaan tot ik alle 27 elementen van F/(M) heb. Probleem is echter, welke elementen zijn dit dan? Ik heb immers geen primitief element om al die elementen te berekenen? Mij lijkt dus dat er een andere methode is om te zien of een element primitief is.
Hoe doe ik dat ?

(ik heb wel weten te berekenen dat er q(q(27))=f(26)=q(2¹·13¹)=12 primitieve elementen moeten zijn )

Bij voorbaat hartelijk bedankt!

Ron
Student universiteit - maandag 15 december 2003

Antwoord

Hallo Ron,

Brute force is hier inderdaad de aangewezen methode, maar echt lastig hoeft dat niet te worden.

Je berekent gewoon de achtereenvolgende machten, daarbij rekening houdend met het feit dat X³=X-1, en dat 2=-1 omdat je modulo 3 werkt.

Dus X=X
X²=X²
X³=X-1
X⁴ = X²-X
X⁵ = X³-X² = -X²+X-1
X⁶ = -X³+X²-X = X²-2X+1 = X²+X+1
X⁷ = X³+X²+X = X²+2X-1 = X²-X-1
etc. tot X²⁶=1.

Je zal zien dat je allemaal verschillende elementen krijgt, zodat je dus een primitief element X hebt gevonden. Je beweert dat niet elk element primitief is, wel, probeer dezelfde truc dan ook eens met bv X² of X-1.

Groeten,
Christophe.

Christophe
maandag 15 december 2003

Re: Primitieve elementen in eindige lichamen

©2001-2024 WisFaq