Faculteiten en delers

Hoi,
ik ben studente van de regentaatopleiding en heb een aantal opgaven waar ik de oplossingen wel van heb maar vindt de oplossingsstragegie niet goed.
Er zijn twee oefeningen die ik helemaal niet goed begrijp:

Eerste oefening:
Met de uitdrukking 6! bedoelen we 6.5.4.3.2.1=720, een getal dat op 1 nul eindigt. Analoog is 10! gelijk aan 3628800, een getal dat op twee nullen eindigt. Op hoeveel nullen eindigt 5000!?
Antwoord: 1249

Tweede oefening:
Hoeveel natuurlijke delers heeft het getal 1746360000?
Antwoord: 1050

Bedankt alvast,
Els

Els
Student hbo - zondag 7 december 2003

Antwoord

Hallo Els,

Je eerste oefening: op hoeveel nullen een getal eindigt, dat is gelijk aan het aantal factoren 10 die in dat getal zitten. Nu geldt 10=2·5. Dus als je in een getal 7 factoren '2' hebt, en 3 factoren '5', en eender hoeveel andere priemfactoren, dan zal je getal eindigen op 3 nullen.
Want 2⁷·5³=2³5³2⁴=10³2⁴, dus eindigt op 3 nullen.

Dus voor die oefening moet je het aantal factoren 2 tellen, en het aantal factoren 5, en het minimum van deze twee waarden zal het aantal factoren 10 zijn, en dus het aantal nullen.

Het aantal factoren 5:
Van 1 tot 5000 zijn er 1000 5-vouden, namelijk 5,10,15,20,... Daarvan zijn er echter 200 25-vouden: 25,50,75,100,... En daarvan zijn er 40 125-vouden: 125,250,375,... En daarvan zijn er 8 625-vouden. En daarvan is er één 3125-voud, namelijk 3125 zelf.
We hebben dus 1000-200=800 keer een enkele factor 5;
200-40=160 keer twee factoren 5;
40-8=32 keer drie factoren 5;
8-1=7 keer 4 factoren 5;
1 keer 5 factoren 5.
Alles samen: 800+320+96+28+5=1249 factoren 5.
Op een analoge manier kan je het aantal factoren 2 uitrekenen, maar dat zal veel hoger liggen. Op die manier kom je aan 1249 factoren 10, dus 1249 nullen op het einde.

De tweede vraag: daarvoor moet je eerst 1746360000 ontbinden in priemfactoren, dat wordt:
2⁶3⁴5⁴7²11.

Een natuurlijke deler wordt nu als volgt samengesteld: neem een aantal keer (0 tot 6) een factor 2, een aantal keer (0 tot 4) een factor 3, enzovoort.

Voor het aantal factoren twee heb je 7 keuzes (nl 0,1,2,3,4,5 of 6), voor het aantal factoren 3 heb je 5 keuzes, voor het aantal factoren 5 heb je 5 keuzes, voor het aantal factoren 7 heb je 3 keuzes en voor het aantal factoren 11 heb je 2 keuzes (nl 0 of 1).

Hoeveel keuzes heb je in totaal? Juist, 7·5·5·3·2=1050...

Groeten,

Christophe
zondag 7 december 2003

©2001-2024 WisFaq