Tweemaal differentieerbaar

Zij ¦:[0,2]®tweemaal differentieerbaar, en laat
¦(0)=¦(1)=0;¦(2)=1.

(1) Laat zien dat ¦'(a)1/2 voor zekere aÎ[0,2].
(2) Laat ziet dat, als bovendien ¦(x)0 voor alle
xÎ[0,2], er een punt aÎ[0,2] moet zijn waar ¦'(a)1.

Zou iemand me please willen helpen.

Ilse
Student hbo - zondag 7 december 2003

Antwoord

Dag Ilse,
Deze vraag kun je beantwoorden mbv de zg tussenwaardestelling. Deze zegt dat als een functie differentieerbaar is op [a , b] dan is er een c in [a,b] zó dat f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).
Passen we dit toe op het interval [1 , 2] dan zie je dat er een c is in [1, 2] met f'(c) = 1 en dat is meer dan 1/2. hiermee is (1) bewezen. Nu (2):
Als f(x) = 0 op [0, 2] dan heeft f een locaal minimum in x=1, dus dan is f'(1) = 0, dat betekent dat f rechts van het punt x =1 maar langzaam van de grond komt. Dat betekent dat er even voorbij x = 1, zeg in een punt x = 1 + c (c een klein getal, bv c = 0,1) moet gelden f(1+c) c/2. Hieruit kun je dan gemakkelijk afleiden (maak een plaatje) dat
(f(2) - f( 1 + c )) / (2 - (1+c)) 1 en daaruit volgt dan weer met de tussenwaardestelling dat er een a moet zijn tussen 1 + c en 2 waar f'(a) 1.
NB het was niet eens nodig dat f twee keer diffbaar is , gewoon 1 keer diffbaar is al genoeg.
Hartelijke groeten.

JCS
maandag 8 december 2003

©2001-2024 WisFaq