De som van de reeks van inversen van derdemachten

Ik heb ergens gelezen dat de som van de reeks (1/1²,1/2²,1/3²,...) convergeert tot p²/6. En bij (1/1⁴,1/2⁴,1/3⁴ heb ik gevonden dat dit uitkomt op p⁴/90. Voor even machten is de som dus altijd gelijk aan een veelvoud van p^n.

Maar hoe zit het met de som van de reeks (1/1³,1/2³,1/3³,...). Volgens mijn rekenmachine is die som bij benadering gelijk aan 1.2020568... . Is er hiervoor een algemene formulering, en is er een verband met de reeksen van andere oneven machten?

Gertja
3de graad ASO - maandag 1 december 2003

Antwoord

De bestudering van de reeks waar je naar vraagt vereist wiskunde van een vrij hoog niveau. Je komt dan in contact met de zogenaamde zeta-functie van Riemann. Onder de zoekterm 'zetafunction' kun je wel informatie vinden, maar het is allemaal nogal gespecialiseerd, universitair niveau. Mijn zoektocht leverde in elk geval geen eenvoudige ingang op waarmee ik je op een heldere manier zou kunnen uitleggen hoe een en ander in elkaar zit.
Helaas.........
Overigens is ook je conclusie over de even machten nogal kort door de bocht. Twee voorbeelden kunnen immers op toeval berusten!

MBL
maandag 1 december 2003

Re: De som van de reeks van inversen van derdemachten

©2001-2024 WisFaq