Determinant van een matrix met goniometrie

Hallo! Ik moet het volgend bewijzen:
[1 sin$\alpha$ cos$\alpha$]
[1 sin$\beta$ cos$\beta$]
[1 sin$\gamma$ cos$\gamma$]

= -4 . sin($\alpha$-$\beta$)/2 . sin($\beta$-$\gamma$)/2 . sin($\gamma$-$\alpha$)/2
Ik heb dat geprobeerd door eerst 2 nullen te maken in kolom1 en dan daarna de formules van Simpson toe te passen, maar het lukt mij niet om het juiste antwoord uit te komen. Kunnen jullie mij helpen aub?
Danku

Tamara

Tamara
3de graad ASO - zondag 30 november 2003

Antwoord

Beste Tamara,

Zie vraag 12830 voor het berekenen van een determinant, want dat bedoel je vast.

Als je dat uitrekent, krijg je iets dat zich snel laat herschrijven tot

sin(a-b) + sin(b-g) + sin(g-a) [1]

We kunnen dit herschrijven met u=(a-b)/2, v=(b-g)/2 en w=(g-a)/2 tot sin(2u)+sin(2v)+sin(2w).

Door toepassing van een handigheidje kun je nu [1] herschrijven tot het gewenste:

1. We hebben 0 = sin(u+v+w) en dit kunnen we helemaal uitschrijven tot 0 = ... in termen van sin(u), sin(v), sin(w), cos(u), cos(v) en cos(w).
   
2. We hebben ook cos(u) = cos(v+w) en hieruit valt af te leiden cos(v)*cos(w) = cos(u) + sin(v)*sin(w).
   
3. Substitueren van resultaten zoals in 2. in de uitgeschreven formule van 1. geeft, met gebruik van de bekende verdubbelingsformule voor de sinus, een formule waarmee je ziet dat je [1] kunt herschrijven in het gewenste.

Succes met uitwerken.

maandag 1 december 2003

©2001-2024 WisFaq