Toppen

-ik heb een functie fp= x².e^x+p.xe^x.
Ik moet onderzoeken of de toppen van deze grafiek een verzameling vormen waarvan je een formule kunt opstellen.
ik heb de afgeleide wel:
[e^x.(x²+px)]'=
e^x(x²+px)+e^x(2x+p)=o
maar verder kom ik echt niet

-ik heb uitgerekend dat de toppen van de grfiek fp=3x^4+px^3
op de kromme -x^4 liggen. Klopt dit?

laura
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 27 november 2003

Antwoord

Je kwam al een aardig eindje...

[e^x(x²+px)]'=
e^x(x²+px)+e^x(2x+p)

Nu moet gelden voor de top dat f_p'(x)=0
dus
e^x(x²+px+2x+p)=0

het stukje e^x kan nooit nul worden, dus hou je over:
(x²+px+2x+p)=0 Û x²+2x+p(x+1)=0 Û
p(x+1)=-x²-2x Û p=(-x²-2x)/(x+1)

Deze p vullen we in in de oorspronkelijke vgl:

f_p(x)=(x²+px)e^x
= (x² - (x²+2x).x/(x+1)).e^x
= (x²(x+1)/(x+1) - (x²+2x).x/(x+1)).e^x
= ((x³+x²)/(x+1) - (x³+2x²)/(x+1)).e^x
= (-x²/(x+1)).e^x

dan de andere functie:
f_p(x)=3x⁴+px³
f_p'(x)=12x³+3px²

f_p'(x)=0 Û
12x³+3px²=0 Û px²=-4x³ Û p=-4x

p invullen in de oorspronkelijke functie

fp(x)=3x⁴ -4x.x³= 3x⁴ - 4x⁴ = -x⁴
Dus je antwoord ziet er goed uit.

groeten,

martijn

mg
donderdag 27 november 2003

©2001-2024 WisFaq