Bewijs homogene vergelijking

Ik ben al opzoek geweest op internet maar ik kan nergens bewijs vinden voor de volgende stelling.

als je de homogene differentiaalverglijking
y''+ay'+by=0 hebt
waarbij de karakteristieke veelterm p(t)=t^2+at+b hoort, waar p(t)=(t-a)(t-b)

waarom is dan de algemene oplossing y(x)=M*exp(ax)+N*exp(bx)

bvd groetjes jasper

jasper
Student hbo - dinsdag 25 november 2003

Antwoord

Even oppassen met je formulering, want als
p(t) = t² + a·t + b
dan is p(t) niet gelijk aan (t-a)·(t-b)
Je moet getallen q en r vinden, zodat
p(t) = (t-q)·(t-r)
De algemene oplossing is dan:
y(x) = M·e^q·x + N·e^r·x

Het is op zich voorstelbaar dat een oplossing van zo'n (lineaire) differentiaalvergelijking te beschrijven is met een e-macht, immers: e-machten hebben de prettige eigenschap dat ze bij het differentiëren zichzelf blijven.

Stel dat de oplossing van de differentiaalvergelijking gelijk is aan:
y = e^l·x
dan is
y' = l·e^l·x
en
y'' = l²·e^l·x
Vul deze drie in in de oorspronkelijke differentiaalvergelijking, en je kunt e^l·x
buiten haakjes halen.
Je krijgt dan:
e^l·x·(l² + a·l + b) = 0
Aangezien e^l·x geen 0 kan zijn, moet dus de expressie tussen de haakjes gelijk zijn aan 0.
Dit levert precies de karakteristieke veelterm op.
De oplossingen hiervan zijn de waarden voor l die we zoeken.
Gezien de lineariteit van de differentiaalvergelijking, en het feit dat de orde gelijk is aan 2, is de algemene oplossing te schrijven zoals boven.
Er valt nog wel een en ander toe te voegen, bijvoorbeeld over de situatie dat er twee samenvallende waarden voor l gevonden worden, of twee complexe, maar dat valt een beetje buiten het bestek van je vraag, denk ik.
groet,

dinsdag 25 november 2003

©2001-2024 WisFaq