Vectorruimte en gelijkwaardige uitspraken

Zij V een vectorruimte. Bewijs dat de volgende uitspraken gelijkwaardig zijn:

i) {v1,....,vn} is ee basis van V.

ii) Ieder element uit V is eenduidig te schrijven als
c1v1+....+cnvn met ci Î.

iii) {v1,....,vn} is een volledig stelsel voor V en voor iedere ?in is {v1,..,vi, ..vn} geen volledig stelsel voor V. ( ik kon niet lezen wat er op de plaats van het ? stond) En boven de vi staat een Ù.

fleur
Student hbo - zondag 23 november 2003

Antwoord

Hoi Fleur,

Het lijkt mij doenbaar dit in de richting i Þ iiÞiii te bewijzen.

i Þ ii

Een basis is per definitie een verzameling vectoren die lineair onafhankelijk zijn, en voortbrengend (dat noem jij blijkbaar 'volledig stelsel'). We weten dat de verzameling {v₁,...v_n} een basis is, dus voortbrengend, dus is elk element te schrijven als lineaire combinatie van {v₁,...,v_n}.

Is dit ook eenduidig? Wel, stel dat het op twee manieren kan, dus een keer met c'tjes en een keer met d'tjes, waarbij niet telkens c_i gelijk is aan d_i.

Bv: v = c₁v₁+...+c_nv_n = d₁v₁+...+d_nv_n met c_k ¹ d_k voor een k.

Dan
v-v = 0
= c₁v₁+...+c_nv_n - (d₁v₁+...+d_nv_n)

Dus (c_k-d_k)v_k=...
Dus v_k is te schrijven als lineaire combinatie van de andere v_i'tjes! Dat kan niet, want de verzameling {v₁,...,v_n} is lineair onafhankelijk. Dit bewijst dat v eenduidig te schrijven is als lineaire combinatie.

ii Þ iii

Als ieder element uit V te schrijven is als lineaire combinatie van {v₁,...,v_n}, dan is die verzameling per definitie een volledig stelsel voor V. Het tweede deel van iii luidt: "{v₁,...,v_n} min {v_i} is geen volledig stelsel voor elke 1in".

Dat tweede deel kan je uit het ongerijmde bewijzen: stel dat voor een v_i geldt dat {v₁,...,v_n}min{v_i} een volledig stelsel is. Dan kan je ELK element van V schrijven als lineaire combinatie van die vectoren. Dus in het bijzonder kan je ook v_i schrijven als
c₁v₁+...+c_nv_n,
zonder in het rechterlid gebruik te maken van v_i.

Dus je kan v_i niet meer EENDUIDIG schrijven als lineaire combinatie van {v₁,...,v_n}, want zowel v_i als c₁v₁+...+c_nv_n zijn mogelijk.

Dat is strijdig, want we vertrokken van ii. Dus daarmee is iii bewezen.

iii Þ i

We moeten bewijzen dat {v₁,...,v_n} een basis is, dus dat die verzameling een volledig stelsel is voor V, en lineair onafhankelijk is.

- Volledig stelsel: OK, want staat expliciet in iii.
- Lineair onafhankelijk:

Weer uit het ongerijmde: stel dat {v₁,...,v_n} lineair AFhankelijk is, dwz dat
c₁v₁+...+c_nv_n=0 met niet alle c_i gelijk aan nul.

Stel dat c_k¹0. Dan kan je schrijven:

c_kv_k=-c₁v₁-...-c_nv_n waarbij in het rechterlid geen v_k meer voorkomt.

Dus v_k is te schrijven als een lineaire combinatie (*) van de ANDERE v_i'tjes.

Goed, we weten dat {v₁,...,v_n} een volledig stelsel is voor V. Dus elke v Î V is te schrijven als d₁v₁+...d_nv_n. Vervang hierin v_k door die net bekomen uitdrukking (*), en je hebt v geschreven als lineaire combinatie van {v₁,...,v_n} zonder v_k te gebruiken. En dat kan je doen voor elke vÎV.

Met andere woorden:
{v₁,...,v_n}min{v_k} is een volledig stelsel voor V, wat strijdig is met de opgave in iii.

Conclusie: {v₁,...,v_n} is lineair ONafhankelijk en dus een basis.

Hiermee is de equivalentie van i, ii en iii bewezen.

Groetjes,
Christophe.

Christophe
zondag 23 november 2003

©2001-2024 WisFaq