Laagste gemiddelde berekenen voor munten

Stel we kunnen betalen met 6 munten:
1 euro, 2 euro, 5 euro, 10 euro, 20 euro en 50 euro

En we hebben alleen deze 6 munten om alle bedragen tussen 1 en 100 te betalen. Voorbeeld:

1 euro betaal ik met het 1 euromunt (1 munt nodig)
4 euro betaal ik met 2 keer het 2 euromunt (totaal 2 munten nodig)
47 euro betaal ik met 20, 20, 5 en 2 euromunt (totaal 4 munten nodig)

Dit doe ik dat voor alle bedragen tussen 1 en 99 en dan bereken ik het gemiddelde aantal munten dat ik nodig heb om te kunnen betalen...Voor de bovengenoemde munten die ik kan gebruiken is die 3.4 munten gemiddeld.

De vraag:
Ik heb nu 6 andere munten nodig waarmee ik:
- ten eerste alles tussen 1 en 99 kan betalen
- ten tweede: het gemiddelde moet lager dan 3.4 munten gemiddeld (het liefst vind ik de 6 munten die het laagst mogelijke gemiddelde geven)

Hoe los ik dit op? Want met de hand maar lukraak wat te proberen is niet handig...

Dennis

Dennis
Student hbo - zaterdag 22 november 2003

Antwoord

Hoi Dennis,

Dit was de prijsvraag van Natuur en Techniek (januari 2002).
Het is inderdaad onbegonnen werk om lukraak te proberen, alhoewel je op die manier waarschijnlijk wel een set van 6 munten kan vinden die 'beter' is dan 1,2,5,10,20,50. Probeer vooral eens met een lagere hoogste waarde, dus niet 50 maar ergens rond de 40. En 1 en 2 in je reeks zetten is misschien ook niet het meest efficiënte, probeer eens 1 en 3 of zelfs 1 en 4.

Je kan er een computerprogramma op loslaten, en dan kom je tot de optimale oplossingen (met telkens een gemiddelde van 2.95=292/99)
1,4,6,21,30,37
1,5,8,20,31,33

Als je nu niet zou willen programmeren, maar echt met de hand uitrekenen, kan je misschien wel iets beginnen met machtreeksen: die zijn van de vorm 1^m,2^m,3^m,4^m,5^m,6^m waarbij je m zelf kan kiezen in de buurt van 2.

m=2 geeft een gemiddelde van 3.06 (noemt men ook wel de Bachetreeks)
m=2,09 (moet je natuurlijk nog wel wat afronden) geeft de reeks 1,4,10,18,29,42 met een gemiddelde van 2.99

Groeten,
Christophe.

(Bron: Natuur en Techniek mei 2002)

Christophe
zondag 23 november 2003

Re: Laagste gemiddelde berekenen voor munten

©2001-2024 WisFaq