Er zijn oneindig veel priemgetallen van de vorm 4k+3

Ik heb ergens een stelling gelezen dat er oneindig veel priemgetallen zijn van de vorm: 4k+3.
Ik heb al vele malen gebrobeerd dit te bewijzen, maar het lukt mij niet. Kunt u mij daarbij helpen?
Bij voorbaat dank

van de
Docent - zaterdag 22 november 2003

Antwoord

Hallo,

Je moet bewijzen dat er oneindig veel zijn. Ik geef een bewijs uit het ongerijmde, dus stel dat er eindig veel zijn.

Neem het product van dit eindig aantal priemgetallen (dus 3·7·11·19·23·31·... Noem dit product A. Bekijk 4A-1.

4A is duidelijk een viervoud, dus 4A-1 is van de vorm 4k+3.

Ontbind dit in priemgetallen (dat kan je met elk getal op unieke wijze doen):
4A-1 = p₁·...·p_n

Nu is elke priemfactor oneven want 4A-1 is oneven.
Dat is logisch: mocht er een even priemfactor in dat product staan (dus dat zou dan 2 zijn), dan zou ook 4A-1 even zijn, wat niet kan. (1)

En geen enkele van die priemfactoren kan van de vorm 4k+3 zijn, want dan zou zo een getal zowel 4A delen (want 4A is het product van ALLE priemfactoren van de vorm 4k+3) als 4A-1... (2)

Conclusie: geen enkele van die priemfactoren is van de vorm 4k of 4k+2 wegens (1) en geen enkele is van de vorm 4k+3 wegens (2).

Dus elke p_i is van de vorm 4k+1. Maar als je zo twee (of meer) getallen vermenigvuldigt, dan blijft dit van de vorm 4k+1.

Expliciet: (4k+1)(4l+1)=16kl+4k+4l+1
= 4(4kl+k+l) + 1
=4m+1

Met andere woorden: het getal 4A-1 is enerzijds van de vorm 4k+1 wegens wat ik hier juist opschrijf, en anderzijds van de vorm 4k-1 omdat het gedefinieerd is als 4A-1. Dat is duidelijk een strijdigheid.

Dus de beginaanname was fout, namelijk dat er slechts eindig veel priemfactoren van de vorm 4k+3 zijn, besluit: er zijn er oneindig veel.

Groeten,
Christophe.

PS: FvL merkte op (waarvoor dank) dat in dit verband de algemene stelling van Dirichlet handig is, die kan je vinden op deze link

Christophe
zaterdag 22 november 2003

©2001-2024 WisFaq