Gemiddelde aantal keer trekken bij kansexperiment

Je hebt een ontelbaar aantal knikkers in een zak en 1 zwarte. De ene keer moet je 12 keer pakken voordat je de zwarte hebt. De andere keer moet je 5000 keer pakken voordat je de zwarte hebt. De ander keer moet je 65000 keer pakken voordat je de zwarte hebt.

Is er nu een manier om het gemiddelde van al die keren pakken uit te rekenen? Dus in dit geval bij 3x proberen:
(12+5000+65000)/3= gemiddeld 23337,333 keer pakken.

Maar wat nou als je dit heeeeeeeeeeel vaak probeert (zeg maar een miljoen keer ofzo). Is er dan een formule voor het gemiddelde aantal keer pakken voordat je de zwarte hebt?

Lotte
Iets anders - zondag 16 november 2003

Antwoord

Laten we eerst een eindig aantal knikkers bekijken en noem dat aantal N. In je verduidelijking zeg je dat er geen sprake is van teruglegging. Je ziet gemakkelijk in dat de nummer van de beurt waarin de zwarte knikker wordt getrokken uniform is verdeeld, alle beurtnummers van 1 tot en met N zijn met andere woorden even waarschijnlijk.

Prob[zwart komt er uit in beurt j] = j/N voor alle j=1..N

Het gemiddelde beurtnummer is dan gelijk aan (N+1)/2.

Als je N nu naar oneindig laat gaan, zie je dat ook het gemiddelde beurtnummer naar oneindig gaat. Wat wil dat in de praktijk zeggen? Het betekent dat als je het knikkergrijpexperiment blijft en blijft herhalen en je telkens het gemiddelde van de beurtnummers die al zijn voorgekomen berekent, dat gemiddelde met quasi-zekerheid onbegrensd zal toenemen naarmate je je experimentenreeks verderzet.

maandag 17 november 2003

©2001-2024 WisFaq