Nuldelers van een polynoom

Wat zijn de nuldelers van de polynomen in modulo 15?
Wat ik zelf gevonden heb was dat de coefficienten van de polynomen veelvoud van 3 respectievelijk 5 moeten zijn;

Alleen bij vermenigvuldiging van twee polynomen (waarvan niet alle coefficienten een veelvoud van 3 of 5 zijn, wel de kopcoefficienten en de constanten) kunnen er in het midden termen van dezelfde graad ontstaan die later bij vereenvoudiging gesommeerd moeten worden; deze moeten ook 0(mod15) geven.

Volgens mij kan deze situatie niet voorkomen. ik kan hier alleen bewijs noch aantoning voor geven.

Kunt u mij hiermee helpen???

Mark R
Student universiteit - zaterdag 15 november 2003

Antwoord

Dag Mark,

Die situatie kan inderdaad niet voorkomen: stel dat je een m-degraads en een n-degraads polynoom hebt. De kopcoëfficiënt van de m-degraads is een vijfvoud, die van de n-degraads is een drievoud.

Dus: (5ax^m+kx^m-1...)(3bxⁿ+lx^n-1...)
waarbij a geen 3voud is en b geen 5voud.

In de uitkomst van het product valt dan de term in x^m+n weg, wat gebeurt er met die in x^m+n-1? Die heeft coëfficiënt 5al+3bk.
Ofwel is l=0 en k=0.
Ofwel is l=0 en k¹0, dan moet 3bk een 15voud zijn, dus k een 5voud.
Ofwel is l¹0 en k=0, dan moet 5al een 15voud zijn, dus l is een 3voud.
Ofwel zijn ze allebei ¹0. Opdat 5al+3bk een 15voud is, moet 3bk een 5voud zijn dus moet k een 5voud zijn. En 5al moet een 3voud zijn, dus l moet een 3voud zijn.

In elk geval moet dus k een 5voud zijn, en l een 3voud.

Hierna kan je inductie gaan toepassen: voor m+n-2 krijg je 3 termen, maar één daarvan is zeker een 15voud, namelijk klx^m+n-2. Er zijn dus maar twee nieuwe, en daarop kan je voorgaande redenering toepassen. Algemeen stel je dat de eerste k termen van beide polynomen 5vouden resp. 3vouden zijn en bewijs je analoog dat ook de volgende term van beide polynomen een 5voud resp 3voud is.

Groeten,
Christophe.

Christophe
zondag 16 november 2003

©2001-2024 WisFaq