Axioma van Wallis

Ik heb het volgende onvolledige bewijs. Wat moeter op de puntjes {... tussen de accolades} staan?
Alvast bedankt!

Gegeven:
Een lijn l en een punt P niet op die lijn.
Lijn m door P evenwijdig aan l, door een loodlijn PQ op l neer te laten en m loodrecht op PQ te richten.

Te bewijzen:
m is de enige lijn door P evenwijdig aan l.

Bewijs:
n is een andere lijn door P.
We moeten nu aantonen dat n lijn l snijdt.
We bekijken nu een lijnstuk van n vanuit P dat tussen een lijnstuk van m en PQ in ligt.
Voor elk punt R op dit lijnstuk laten we de loodlijn RS op PQ neer.
Nu passen we het postulaat van Wallis toe op driehoek PSR en lijnstuk PQ.
Hieruit volgt dat er een punt T is zodat driehoek {...} gelijkvormig is met driehoek PQT.
Stel T ligt aan dezelfde kant van PQ als R.
Vanwege de gelijkvormigheid moet gelden hoek TPQ = hoek {...}.
Aangezien beide hoeken lijnstuk PQ als been hebben en T aan dezelfde kant van PQ ligt als R, moet T wel op n liggen.
Ook moet gelden dat hoek PQT = hoek {...}; dus hoek PQT is een rechte hoek en dus ligt T ook op l.
Dus n en l snijden elkaar in T.
En daarom is m de enige lijn door P evenwijdig aan l.
Q.e.d.

christ
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 14 november 2003

Antwoord

Het axioma van Wallis (John Wallis, 1616-1703) is een 'alternatief' voor het 5e postulaat (axioma) van Euclides (in diens Elementen).
Voor een bewijs van de equivalentie van Euclides' postulaat en het axioma van Wallis verwijs ik je naar onderstaande webpagina.
Kan je zien wat wat er op de {...} moet staan...

Naschrift - De pagina waarnaar verwezen wordt, is geschreven naar aanleiding van bovenstaande vraag!

Zie Axioma van Wallis

maandag 17 november 2003

©2001-2024 WisFaq