Theorie integraal omwentelings lichaam
Stel ik heb een parabool y = x2 en die wentel ik om de y-as. Nu wil ik daar de oppervlakte van bepalen.
Dat kan met standaardformules:
Oppervlakte A = 2$\pi\int{}$(y·√(1+(y')2))dx
Volume V = $\pi\int{}$(y2)dx
En die wil ik best gebruiken. Maar waarom ontstaan die niet bij het in plakjes verdelen van het omwentelingslichaam? Dat laatste lijkt zo logisch namelijk, maar komt niet altijd uit.
Mijn idee was dus om de omwentelings parabool in horizontale plakjes te verdelen. Je krijgt dan ringen. Door het oppervlak van alle ringen op te tellen heb je het oppervlak van de omwentelings parabool. Leek me.
Maar dat klopt niet altijd.
Elke ring heeft een omtrek C = 2$\pi$r
De straal r is gelijk aan x
Elke ring heeft een dikte/lengte dy
Elke ring heeft een oppervlakte A = C·dy
Dus de oppervlakte van een ring A = 2$\pi$x·dy
En de oppervlakte van de omwentelings parabool is de som van al die ringen, dus
A = 2$\pi\int{}$(x·dy)
Dit is (invullen voor x)
A = 2$\pi\int{}$(√(y)·dy)
Of (invullen voor y)
A = 2$\pi\int{}$(x·2x·dx)
Maakt niet uit, komt zelfde uit. Maar dit is niet goed volgens mij. Ik heb een aantal verschillede lichamen berekend voor zowel inhoud als oppervlakte. Soms klopt het wel en soms klopt het niet (Voor zover ik numeriek inhoud en oppervlakte kan vergelijken met standaard formules).
Weet iemand wat voor denkfout ik maak?
sven d
Iets anders - woensdag 12 november 2003
Antwoord
Definitie:
Als f' continu is in [a,b], dus a$<$b, dan noemen we de bepaalde integraal
S=a$\int{}$b2$\pi$|f(x)|√(1+[f'(x)]2) dx
het maatgetal van de zijdelingse oppervlakte van het omwentelingsoppervlak dat ontstaat bij wenteling om de X-as van een boog van de kromme met vergelijking y=f(x) t.o.v. een georthonormeerd assenstelsel.
Dus als je wil wentelen om de Y-as moet je de functies van x en y omkeren. We moeten dus een kromme x=f-1(y) zoeken die we wentelen om de Y-as. Bvb x=√y
De straal van zo'n schijf is dan x of √y
Die ringen waarvan je spreekt zijn eigenlijk geen schijven maar afgeknotte kegels. De zijdelingse oppervlakte van een afgeknotte kegel is
OZ=$\pi$(r1+r2)√((r1-r2)2+h2)
met r1,r2 de stralen van het grondvlak en het bovenvlak
en h de hoogte van de afgeknotte kegel.Aangezien we met infinitesimaal dunnen afgeknotte kegels werken is bij benadering r1=r2 en dus r1+r2=2x=2f-1
(r1-r2) = dx = (f-1)'(y)dy
en h=dy
Dus: (r1-r2)2+h2= ([(f-1)'(y)]2+1)(dy)2
En dus is:
$\pi$(r1+r2)√((r1-r2)2+h2)=2$\pi$f-1(y)√([(f-1)'(y)]2+1)dy=2$\pi$x·√((x')2+1) dy
Al die infinitesimaal dikke (of dunne) afgeknotte kegels optellen geeft u de integraal
S=a$\int{}$b2$\pi$x√(1+(x')2) dy
En dus juist dezelfde formule maar met de functie van x en y omgewisseld.
Mvg,
Els
vrijdag 14 november 2003
©2001-2024 WisFaq
|
Re: Theorie integraal omwentelings lichaam