Basis van een reële vectorruimte

Neem telkens, zo mogelijk, een deelverzameling van de verzameling tot basis van de reële vectorruimte ,³,+

E=[(-4,1,3),(3,1,2),(-7,0,1),(1,0,0)]


Hoe doe ik dit en heb je soms wat meer uitleg over een dimensie en basis?

Hans
3de graad ASO - maandag 10 november 2003

Antwoord

Dag Hans,

Een dimensie is het aantal elementen in de basis.
Een basis is een verzameling elementen (in dit geval van R³) dat voortbrengend is en lineair onafhankelijk.

Voortbrengend betekent dat je elk element van R³ kan schrijven als lineaire combinatie van je elementen van de basis.

En lineair onafhankelijk betekent dat je geen enkel basiselement kan schrijven als lineaire combinatie van andere basiselementen. Of, daarmee gelijkwaardig: dat er geen lineaire combinatie van je basiselementen bestaat die het nulelement (hier is dat (0,0,0)) oplevert afgezien van die combinatie met alleen nullen als coëfficiënten.

Onthoud wel dat de basis van ⁿ over altijd n elementen bevat: het vlak bevat 2 basisvectoren (x en y), de ruimte 3 (x,y,z) enzovoort.

Dus voor deze oefening zal je drie van de vier gegeven elementen moeten kiezen, en wel zodanig dat ze lineair onafhankelijk zijn. Dat kan je dan weer nagaan door ze onder elkaar te zetten en er een matrix van te maken. Als de determinant nul is zijn ze lineair AFhankelijk en heb je dus GEEN basis, anders lin. onafhankelijk, en wel een basis. Zo zal de keuze (-4,1,3),(3,1,2),(-7,0,1) determinant nul, en dus geen basis opleveren.

Groeten,
Christophe.

Christophe
maandag 10 november 2003

©2001-2024 WisFaq