Hoe vaak maken de wijzers van de klok binnen 24 uur een hoek van 90 graden.

Vorige week heb ik als vader verschillende lessen gevolgd op de school van mijn dochter. De wiskundeleraar heeft mijn dochter en ik de opdracht gegeven uit te zoeken hoe vaak de wijzers van de klok binnen 24 uur een hoek van 90 graden maken.

Over een maand moet ik dit probleem opgelost hebben. mijn dochter weet niet dat ik deze opdracht gekregen heb. De gegevens die ik weet:

Grote wijzer 360 graden per uur
Kleine wijzer 360 : 12 = 30 graden per uur

• Welke formule heb ik nodig om dit op te lossen. wiskunde is voor mij 20 jaar geleden.

P.B.A.
Ouder - dinsdag 4 november 2003

Antwoord

Noem t het aantal minuten sinds middernacht. Er zijn 24x60 minuten in 24 uur dus we zijn zowiezo enkel geinteresseerd in oplossingen in het halfopen interval [0,1440[.

De hoek die de grote wijzer maakt met de 'middernachtas' is 2$\pi$t/60. De hoek die de kleine wijzer maakt met die as is 2$\pi$t/720. De verschilhoek moet $\pi$/2 zijn, maar er mag ook een veelvoud van $\pi$ bij of af. Dus met k een geheel getal:

2$\pi$(t/60 - t/720) = $\pi$/2 + k$\pi$

Opgelost naar t geeft dat

t = (180+360k)/11

Elk geheel getal k dat er voor zorgt dat t in het bovengenoemde interval komt te liggen is een gezochte oplossing. Controleer zelf dat k daartoe moet voldoen aan 0$\leq$k$\leq$43. Er zijn dus 44 ogenblikken waarop de wijzers loodrecht op elkaar staan. De meest herkenbare zijn natuurlijk 3u, 9u, 15u en 21u, maar ook de andere zijn eenvoudig omrekenbaar. Zo is voor k=10, t=3780/11 wat overeenkomt met 5u43m38s.

Als je niet geinteresseerd bent in de exacte tijdstippen van loodrechte stand kan je ook de volgende redenering gebruiken.

Als de kleine wijzer niet beweegt, zijn er 2 ogenblikken van loodrechte stand per draaiing van de grote wijzer over de kleine wijzer. Maar de kleine wijzer beweegt wel en draait zelf 2 keer volledig rond op 24 uur. Daardoor draait de grote wijzer slechts 22 keer over de kleine, waardoor er ook maar 44 momenten van loodrechte stand zijn.

En als je het nog altijd niet vertrouwt... tellen maar!

dinsdag 11 november 2003

©2001-2024 WisFaq