Driezijdig recht prisma

we beschouwen een driezijdig recht prisma (def abc)
en met hoogt h
we snijden het prisma met een vlak dat evenwijdig is met het grondvlak en op een afstand x van het bovenvlak ligt. bepaal x in functie van h zodat de inhoud van de piramide met d als top waarvan het grondvak in vl(abc) ligt en waarvan de ribben door de hoekpunten van de doorsnede gaan, een inhoud heeft die gelijk is aan de inhoud van het prisma.

inhoud prisma = inhoud piramide
G·h = ¹/₃ · G · h
die hoogte van de prisma en die van de piramide zijn gelijk.
de doorsnede en het grondvlak v/d piramide zijn gelijkvormig.
Kan je me verder helpen?

joris
3de graad ASO - zondag 2 november 2003

Antwoord

Ik probeer me de situatie voor te stellen, maar weet natuurlijk niet helemaal zeker of ik je beschrijving goed doorheb. Zonder figuur is het weleens lastig om precies de bedoeling te doorgronden. Maar goed, dan horen we het wel.

Noem de doorsnede PQR (P tussen A en D, Q tussen B en E en R tussen C en F).
Trek in zijvlak ABED het lijnstuk DQ en verleng dat totdat je in het grondvlak zit. Het snijpunt van het verlengde van DQ en het grondvlak noemen we S. Dit punt ligt 'ergens' voor het punt B op het verlengde van ribbe AB.
Vergelijk nu de driehoeken PQD en ASD.
Omdat PD = x en DA = h, is de vergrotingsfactor om PD te vergroten tot DA gelijk aan h/x.

Nu moet je gebruiken dat, als een figuur vergroot wordt met een bepaalde factor k, de oppervlakte van die figuur met factor k² groeit.

De oppervlakte van het oorspronkelijke prisma is G·h.
Voor de piramide geldt dat de oppervlakte van het grondvlak gelijk is aan (h/x)²·G = h²/x²·G

Nu wil je hebben dat G·h = ¹/₃·h²/x²·G

G kun je aan beide zijden wegdelen en ook een factor h.
Daarmee hou je een verband over tussen x en h.

MBL
zondag 2 november 2003

©2001-2024 WisFaq