Sinusoïden op de GR

Ik probeerde de volgende sinusoïden te plotten op mijn Grafische Rekenmachine (TI 83).
Y1(X) = sin(47X)
Y2(X) = sin(48X)
Y3(X) = sin(49X) (alles in Radialen)
Deze functies gaven lang niet de verwachte grafieken, maar wel een rechte lijn (Y=0), een sinusoïden met periode 2p en de laatste met periode 1p.
Als ik nu dezelfde functies plot in een programma als Maple, dan krijg ik wel de sinusoides met zeer korte periodes.
Kunt u mij vertellen wat hiervan nou de oorzaak is, dat de GR de functies niet goed plot, maar de PC wel?

Bernha
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 14 oktober 2003

Antwoord

De oorzaak is onderbemonstering van de functies.

Een relatie bestaat over het algemeen uit een oneindig aantal koppels (x,y). Het spreekt vanzelf dat het voor een rekenmachine onmogelijk is die in een eindige tijd te berekenen of te tekenen.

Om hier een mouw aan te passen, berekent je GR een eindig aantal punten (x,y) die het dan verbindt door lijnstukken. Een dergelijke benadering gaat natuurlijk slechts op voor functies die tussen twee punten traag varieren zodat de lineaire benadering min of meer gerechtvaardigd is.

Dat opeenvolgende punten worden verbonden kan je bijvoorbeeld zien in sommige grafieken van functies met een verticale asymptoot. Hoewel de punten van zo een asymptoot niet tot de functie behoren, zijn ze toch soms zichtbaar op je GR, wanneer een punt met grote positieve waarde en een punt met grote negatieve waarde met elkaar worden verbonden. Het GR gaat er in dat geval onterecht van uit dat de functie die je wil tekenen overal continu is. Merk ook op dat je dat verbinden van punten kan uitzetten.

Jouw GR heeft een resolutie van 95x63 beeldelementen (pixels) en heeft er blijkbaar voor gekozen om voor elke horizontale pixel juist een koppel (x,y) te berekenen. Dat had ook anders gekund: je zou ook kunnen kiezen voor een rij x-waarden die *dichter* bij elkaar liggen dan de x-afstand die overeenkomt met de breedte van een pixel. Dat laatste gedrag zou je kunnen simuleren door over te gaan op een parametervoorstelling {x=t,y=f(t)} en de stapgrootte van de parameter ("Tstep" op de TI-83) klein te kiezen.

Laten we even teruggaan naar jouw "verschijnsel".
Na wat uitproberen lijkt het volgende model dat volledig te verklaren. Nummer de pixelkolommen van 0 tot en met 94 en noteer met Xmin en Xmax de x-waarden die respectievelijk met de uiterst linkse en de uiterst rechtse pixel overeenkomen. Er geldt dan voor de x-waarde die bij pixelnummer n hoort x(n) = Xmin + (n/94)(Xmax-Xmin)

Dat zijn dus de punten waarin de functie zal geevalueerd worden. In de verschillende gevallen vind je op die manier, rekening houdend met het feit dat je van het argument een geheel aantal keer 2p mag optellen of aftrekken zonder de waarde van de sinusfunctie te veranderen,

f(x) = sin(47x) | Xmin = -2p | Xmax = 2p
f(x(n)) = sin(47x(n)) = -sin(94pn/47) = -sin(2pn) = 0
De 95 punten hebben allemaal y-coordinaat 0.

f(x) = sin(48x) | Xmin = -2p | Xmax = 2p
f(x(n)) = sin(48x(n)) = -sin(96pn/47) = sin(2pn/47)
De punten liggen op een sinus met "pixel-periode" 47.
Aangezien 94 (en niet 95!) pixels overeenkomen met een "x-periode" van Xmax-Xmin=4p, is de "x-periode" 2p.

f(x) = sin(49x) | Xmin = -2p | Xmax = 2p
f(x(n)) = sin(49x(n)) = -sin(98pn/47) = sin(4pn/47)
De punten liggen op een sinus met "pixel-periode" 23,5
Aangezien 94 (en niet 95!) pixels overeenkomen met een "x-periode" van Xmax-Xmin=4p, is de "x-periode" p.

Onthou vooral dat de "foute" grafiek die je te zien krijgt afhangt van het aantal pixels op de display van de GR en de waarden van Xmin en Xmax.

In Maple kan je trouwens eenvoudig het gedrag van je GR simuleren



Merk het gebruik op van een extra plot-optie "numpoints=1000" om te vermijden dat Maple op zijn beurt dingen zou laten zien die niet overeenkomen met de werkelijkheid. (numpoints=95 stellen werkt echter niet, de opgegeven waarde is enkel een minimum aantal punten, het effectieve aantal punten bepaalt Maple zelf)

Een en ander is sterk verwant met een stelling uit de signaalverwerking en communicatietheorie, namelijk de stelling van Shannon, soms het sampling theorema geheten, en ook de naam van Nyquist wordt regelmatig gebruikt.

Die stelling zegt dat je een bandbeperkt signaal (een signaal waarbij in het spectrum enkel componenten optreden met een frequentie kleiner dan een gegeven frequentie f) volledig en eenduidig kan reconstrueren uit een aantal equidistante monsters, als je maar snel genoeg bemonstert. Dat bandbeperking een vereiste is voel je zelf wel aan: functies die "oneindig" snel kunnen veranderen, kunnen tussen twee vaste punten alle mogelijke dingen doen. Shannon toont ook de waarde aan van die minimale bemonsteringsfrequentie, namelijk 2f.

In jouw geval bemonster je een keer per pixel, Volgens stelling kan je dus enkel hopen op het correct weergeven van functies die hoogstens componenten bevatten met periode gelijk aan 2 pixels. Het hangt dan van de frequentie van je sinus af EN van de instelling van je x-interval of je boven die periode blijft.

Hieronder zie je hoe de functie sin(10x) er op jouw GR ongeveer zal uitzien.



Die functie varieert traag genoeg om een exacte constructie door middel van samples mogelijk te maken. Je ziet inderdaad dat het "fluctuerende gedrag" (met andere woorden de frequentie) correct wordt weergegeven. Nochtans is de reconstructie allesbehalve perfect. De oorzaak daarvan is dat de manier om vanuit een verzameling samples naar de volledige functie over te gaan niet "het verbinden van de sample-punten door lijnstukken" is, maar iets anders, het vermenigvuldigen van samplewaarden met sinc-pulsen, maar ik ben aan het afwijken

zaterdag 18 oktober 2003

©2001-2024 WisFaq