p² = 1 (mod 24) voor p>3

Ik moet bewijzen dat voor elk priem groter dan 3 (p3) geldt dat p²=1 (mod 24). Ik kan dit vervangen door p·p=1 (mod 24) waarbij ik de p kan vervangen door een getal(n) dat relatief priem is tot 24 (ggd(n,24)=1), want als de ggd niet 1 is is het getal p door de ggd te delen, dus vervang ik p door n (p=q·24+n)

Dus ik houdt over dat n²=1 (mod 24) dat ontbindt ik in (n-1)(n+1)+1=1 (mod 24) Oftewel (n-1)(n+1) is een meervoud van 24. Maar hoe bewijs ik dit. Ik heb een vaag vermoeden dat het komt doordat ggd(n-1,24)·ggd(n+1,24)=24 Waarbij natuurlijk de uitzondering n=1 en n=23 gelden waarbij bij n=23 de uitkomst van de ggd's 48 wordt. En bij n=1 wordt het (n-1)(n+1)=0. Weten jullie hoe ik die laatste stap kan bewijzen.

Martin
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 3 oktober 2003

Antwoord

Hallo Martin,

Je redenering is correct tot aan die (n-1)(n+1)=0 mod 24. Maar wat je daarna ook toepast van trucs (met ggd werken bv), je zal dit toch altijd moeten controleren voor alle n die relatief priem zijn tov 24. Het geluk is dat dit er niet zo veel zijn: n=1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. En inderdaad: (n-1)(n+1) geeft hier steeds een 24-voud. Strikt genomen moet je die laatste vier getallen niet meer controleren, want bv:
(5-1)(5+1) = (24-(5-1))(24-(5+1)) = 20·18 = (19+1)(19-1) (mod 24)

Dus je moet enkel nog nagaan dat die gelijkheid klopt voor n=1,5,7,11 en inderdaad:
0·2 = 4·6 = 6·4 = 10·12 = 0 (mod 24)

Groeten,
Christophe.

Christophe
vrijdag 3 oktober 2003

©2001-2024 WisFaq