Geremde groei, kwadratisch verband

Een populatie groeit als volgt (recursieve formule): P_n+1=P_n.a.(1-P_n). Hierin stelt P het relatieve aantal voor ten opzichte van het maximale aantal. Dus P varieert van 0% tot 100%. a Is een groeifactor die afhankelijk is van de soort... Men moet nu de maximale waarde van P berekenen in functie van a. Men stelt als voorbeeld dat P_start gelijk is aan 60%.
Hoe kan je dit berekenen? Met de afgeleide functie van P kom ik aan een a-waarde van nul... ??!! Men zegt er in de opgave ook bij dat de berekening aantoont dat a niet groter kan zijn dan 4... Help, aub! Dank bij voorbaat! Groet, JB.

JB
Docent - dinsdag 30 september 2003

Antwoord

Deze groei wordt ook wel Logistische groei genoemd (engels: logistic growth).
Die 60% is alleen maar verwarrend en kijken we even niet naar.
Voor de rij p_n geldt dus p_n+1=f(p_n) met
f(x)=ax(1-x).
Als we de grafiek van f bekijken is dat de grafiek van een tweede graads functie met nulpunten x=0 en x=1.
De x-coordinaat van de top van deze grafiek (een parabool) is dus x=¹/₂.
De y-coordinaat van de top is dus a.¹/₂.¹/₂=¹/₄a

Dus als voor de rij p_n voor zekere waarde van n de waarde ¹/₂ aanneemt dan is p_n+1 gelijk aan ¹/₄a. Als p_n¹¹/₂ is p_n+1¹/₄a.
De maximale waarde die p_n kan aannemen is dus ¹/₄a.

Voor a=4 geldt dat de y-coordinaat van de top van f gelijk is aan 1, voor a4 is de y-coordinaat van de top groter dan 1.
Nemen we nu a4 en voor zekere n geldt p_n=¹/₂ dan is p_n+11. p_n+2 zou dan negatief worden en dat is bij een populatie het eind van het verhaal. Vandaar dat bij het logistisch groeimodel in deze vorm alleen gekeken wordt naar a4.

Overigens valt over het logistische groeimodel heel erg veel te zeggen. Begrippen als webgrafiek, dekpunt, convergentie komen dan om de hoek kijken.
Voor een kleine introductie zou je eens kunnen kijken op
logistische groei
Op dit adres kun je zien hoe verschillend het model zich kan gedragen afhankelijk van de waarde van a en de gekozen startwaarde voor p_n

dinsdag 30 september 2003

©2001-2024 WisFaq