Afgeleide van x^1/ln(x)

Hallo,
Ik moet de volgende functie differentieren:

f(x) = x^1/ln(x)

Als ik de functie in mn GR invoer dan zie
ik dat als x 0 en niet gelijk is aan 1,
de functie constant is, namelijk f = e.
Dus ik zou uiteindelijk op 0 uit moeten komen.

Maar hier kom ik echt niet uit.
Ik neem de afgeleides van x^1/ln(x), 1/ln(x) en ln(x) en vermenigvuldig die. Maar ik zie echt niet hoe ik daaruit ooit nul moet krijgen.

Wie helpt mij??
Alvast bedankt.

coen
Student universiteit - woensdag 24 september 2003

Antwoord

Hoi,

Je moet inderdaad opletten met het domein. Enkel voor x-waarden waarvoor 0x1 en x1 is f(x) gedefinieerd.

f(x)= x^1/ln(x), dus:
ln(f(x))= ln(x^1/ln(x)) = ln(x)/ln(x) = 1 (voor x0 en verschillend van 1)
Dus is f(x)=e.

Hieruit kan je al besluiten dat f'(x)=0, zonder verder te moeten rekenen.

De afgeleide kan je inderdaad ook the hard way berekenen, maar niet helemaal zoals jij dat zag.

We bekijken eerst g(x)=a(x)^b(x) en proberen g'(x) te bepalen:

g(x)=a(x)^b(x)
ln(g(x))=ln(a(x)^b(x))=b(x).ln(a(x))

Zodat (afleiden met ketting- en productregels):
g'(x)/g(x)=b'(x).ln(a(x))+b(x).a'(x)/a(x)
en dus:
g'(x)=
[b'(x).ln(a(x))+b(x).a'(x)/a(x)].g(x)=
[b'(x).ln(a(x))+b(x).a'(x)/a(x)].a(x)^b(x)

En dat krijg je niet in 1-2-3 uit een product- of kettingregeltje...

Toegepast:
a(x)=x, dus a'(x)=1
b(x)=1/ln(x), dus b'(x)=-1/[x.ln²(x)]

f'(x)=
[-1/[x.ln²(x)].ln(x)+1/ln(x).1/x].x^1/ln(x)=
[-1/[x.ln(x)]+1/[x.ln(x)]].x^1/ln(x)=
0

Groetjes,
Johan

andros
woensdag 24 september 2003

©2001-2024 WisFaq