Impliciet differentiëren

Gegeven is de volgende functie:
¹/_(x+y) + xy = 2
De vraag: wat is dy/dx als x=0.

Deze functie omschrijven in de vorm y=... is (volgens mij) onmogelijk, dus moet deze opgave impliciet worden opgelost. Maar hier loop ik vast. Ik snap dat y moet worden gezien als functie van x, zodat je bij het differentiëren telkens op y de kettingregel toe moet passen. Ik snap echter de differentieerstap zelf niet: moet je eerst alles een keer naar x differentiëren en vervolgens naar y? Of differentieer je alles tegelijk?

Bij voorbaat dank voor elke stap in de goede richting :)

Sebast
Student universiteit - zondag 21 september 2003

Antwoord

Eerst en vooral is wat gegeven is geen functie, maar een eenvoudige relatie die bestaat uit punten in het (x,y)-vlak. Een functie is een EENDUIDIG verband y(x).

De relatie die je opgeeft kan wel worden opgelost naar y, al gaan er twee oplossingen zijn. Je zal dan eerst de juiste (zijnde degene die gedefinieerd is voor x=0) moeten bepalen en die dan afleiden.

Een andere manier is inderdaad impliciete differentiatie. Alles wordt tegelijk gedifferentieerd en je moet inderdaad gewoon y zien als functie van x. Schrijf desnoods y(x) als je dat helpt om de zaken beter in te schatten

Zo wordt bijvoorbeeld xy - x.y(x) na differentieren xy' + y. Lukt het zo? Onderaan zie je trouwens de grafiek van de verzameling punten die voldoen aan het gegeven verband. dy/dx is in x=0 gelijk aan -7/8.

Je kan erop zien hoe slechts een van de twee stuksgewijs continue functies die aan het opgegeven verband voldoen, effectief afleidbaar is in x=0.

Als oefening kan je ook eens de eerste manier proberen, om jezelf er van te overtuigen dat impliciet differentieren ook zijn voordelen heeft indien de rechtstreekse manier wel werkt.

zondag 21 september 2003

Re: Impliciet differentiëren

©2001-2024 WisFaq