Getallen

Jantje heeft een probleem met het afwegen van visvoeder.
Dus versnijdt hij een loden buis in 4 verschillende stukken.
Hiermee kan hij voortaan alles tussen 1kg en 40kg wegen.
Hoeveel is het gewicht van deze 4 stukken afzonderlijk?

anne v
Ouder - donderdag 18 september 2003

Antwoord

Wat je waarschijnlijk vergeet te vermelden is dat Jantje alle gewichten van 1kg
tot en met 40kg kan wegen die gehele veelvouden zijn van 1kg.

Als x het gewicht is dat we moeten bepalen, zijn we dus op zoek naar vier referentiegewichten r1, r2, r3 en r4 zodanig dat er getallen c1, c2, c3 en c4 bestaan waarvoor

x = c1 r1 + c2 r2 + c3 r3 + c4 r4.

Een bijkomende vereiste is dat de c-getallen komen uit de verzameling {-1,0,+1}. Daarbij staat

-1 voor het plaatsen van het referentiegewicht aan de kant van het te bepalen gewicht x
+1 voor het plaatsen van het referentiegewicht aan de andere kant dan die van het te bepalen gewicht x
0 voor het niet gebruiken van het referentiegewicht bij de bepaling van het gewicht x

In principe kunnen we zo maximaal 3^4=81 verschillende getallen x bekomen. We moeten er echter wel de getallen 1 tot en met 40 mee kunnen bouwen, zonder gaten. De eenvoudigste manier om de referentiegewichten te bekomen lijkt mij uit te gaan van het feit dat bovenstaande formule kan gelinkt worden aan ternaire (dus met grondtal 3, refererend naar) representatie van getallen.

Neem

r1 = 3^0 = 1
r2 = 3^1 = 3
r3 = 3^2 = 9
r4 = 3^3 = 27

Met de "normale" ternaire coefficienten 0, 1 en 2 kan je hier alle getallen van 0 tot en met 80 mee maken. Onze coefficienten zijn een eenheid verschoven zodat we er alle getallen van -40 tot en met +40 mee kunnen maken.

Het blijft natuurlijk eerder een min of meer gefundeerde maar toch intuitieve procedure dan een wiskundig sluitende redenering. Ik zal me eens bij enkele mensen beraden hoe je dit soort problemen en veralgemeningen ervan kan aanpakken...

donderdag 18 september 2003

©2001-2024 WisFaq