Pythagoreïsche drietallen

Wat zijn de zijden van een pythagoreische driehoek als de straal van de ingeschreven cirkel 7 is?
De uitkomsten moeten gehele getallen zijn die onverenigbaar zijn. Er moeten twee oplossingen mogelijk zijn. Een ervan is 15, 112, 113

Jerney
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 4 februari 2002

Antwoord

De tweede is 16, 63, 65.

Aanpak: in een rechthoekige driehoek ABC met rechthoekszijden a en b en schuine zijde c teken je de ingeschreven cirkel met middelpunt M en straal 7.

Teken de lijnstukken AM, BM en CM.
Nu geldt:
Opp(ABC) = Opp(AMB) + Opp(BMC) + Opp(CMA)
½ab = ½·7(a + b + c)
ab = 7(a + b + c). (*)

Verder geldt voor pythagoreische drietallen a, b en c dat je ze kunt schrijven als:
a = m² - n² ; b = 2mn en c = m²-n²
Dit invullen in (*) geeft:
(m²-n²)·2mn = 7(m²-n²+2mn+m²+n²)
(m-n)(m+n)·2mn = 14m(m+n)
(m-n)·n = 7
m = 7/n + n

Maar omdat m en n gehele getallen zijn, kan dit alleen als n = 1 of n = 7.
n=1 geeft m=8, dan heb je a=63, b=16, c=65;
n=7 geeft m=8, dan heb je a=15, b=112, c=113.

woensdag 6 februari 2002

©2001-2024 WisFaq