Een andere toepassing op afgeleiden

Hoi hier ben ik weer, dit keer met weer een toepassing op afgeleiden... :(
y=x³+3x²+k heeft drie verschillende nulpunten,bepaal de waarde(n) van k.
Ik denk dat dit weer om de eerste afgeleide draait (y'=3x²+6x)Maar nu?
Kan er iemand me misschien nog eens op weg helpen?
groetjes
Karo

Karo V
3de graad ASO - donderdag 28 augustus 2003

Antwoord

Hallo Karo,

De functie heeft 1, 2 of 3 verschillende nulpunten. Wanneer komt een nulpunt dubbel voor? Als zowel de y-waarde van de functie als van de afgeleide nul wordt. Die afgeleide wordt enkel nul in x=0 en in x=-2. Dus als je één van die twee x-waarden invult in je functievoorschrift, mag dat niet nul worden, waaruit je haalt dat k bepaalde waarden niet mag aannemen: k=0 en k=-4.

Op die manier weet je al dat voor alle andere waarden van k, er geen dubbele of driedubbele nulpunten zullen zijn. Nu kan het echter ook nog zijn dat de functie slechts één reëel nulpunt heeft, en twee complexe. Hoe kan je nagaan of er drie, dan wel één reëel nulpunt is? Wel, de algemene grafiek van deze functie is duidelijk uit het tekenonderzoek: als x=-¥ dan y=-¥. De functie stijgt dan tot in het eerste nulpunt van de afgeleide, zijnde x=-2, daalt dan tot aan het tweede nulpunt van de afgeleide, zijnde x=0, en stijgt dan altijd maar verder.

Als je daarvan een schets maakt, zie je meteen dat je alleen drie nulpunten hebt als de functiewaarde in x=-2 groter is dan nul, en in x=0 kleiner dan nul. Dit leidt tot de conclusie dat 4+k0 en k0, of dus k Î ]-4,0[.

Groeten,
Christophe.

Christophe
donderdag 28 augustus 2003

©2001-2024 WisFaq