Bepalen van het bereik

heeyz!
kunnen jullie mij deze vraag mischien uitleggen..
ik snap niet hoe je dat kan berekenen..
gegeven is de functie: f(x)=x³-6x

a schets de grafiek van f en geef de coordinaten van de toppen.

b neem Df=[-3,2] en geef het bereik

c neem Df=[0,4] en geef Bf

sanne
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 25 augustus 2003

Antwoord

Beste Sanne,

a)

Eerst gaan we maar 'ns de nulpunten berekenen van f(x)=x³ - 6x.

f(x)=0 $\Leftrightarrow$ x(x² - 6) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 $\angle$ x²-6=0
$\Leftrightarrow$ x = 0 $\angle$ x² = 6
$\Leftrightarrow$ x = 0 $\angle$ x = ±√6

Laten we de grafiek maar 'ns tekenen rond deze punten.


We zien de toppen al, maar hoe kunnen we die berekenen?
Extrema kunnen gevonden worden d.m.v. differentiëren. Waarom? Extrema hebben een horizontale raaklijn (buigpunten kunnen ook horizontale raaklijn hebben, maar dit zijn geen extrema), dus rico is hier 0. Hoe vinden we de richtingscoëfficiënt van de raaklijn? Door de functie te differentiëren, en aangezien de rico ook nog 0 moet zijn moeten we de gedifferentieerde functie gelijkstellen aan 0. Maar er is nog een bijkomende eis voordat we kunnen spreken van extrema. De eerste afgeleide moet van teken veranderen. In ons geval spreken we trouwens van lokale extrema (er is geen 'echt' maximum en minimum [want als x $\to$ -$\infty$ $\Rightarrow$ f(x) $\to$ -$\infty$ en als x $\to$ +$\infty$ $\Rightarrow$ f(x)$\to$+$\infty$], wel in een omgeving, bijvoorbeeld op het domein $<$-$\infty$,2√2$>$ is er een maximum (zie berekening hieronder) en op het domein $<$-2√2,+$\infty>$ is er een minimum (zie hieronder)).

f(x) = x³ - 6x
f'(x) = 3x² - 6

f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ 3x² - 6 = 0 $\Leftrightarrow$ 3x² = 6 $\Leftrightarrow$ x²=2 $\Leftrightarrow$ x = ±√2.
Ter controle kijken of de eerste afgeleide van teken verandert.
f'(-√2 - a) = positief (a $\in$ $\mathbf{R}$⁺)
f'(-√2) = nul
f'(-√2 + a) = negatief (a $\in$ $\mathbf{R}$⁺)
$\Rightarrow$ Voor x = -√2 is er een lokaal maximum (rico gaat van stijgend naar dalend). Bijbehorende y-waarde is 4√2.

f'(√2) gaat analoog, je kunt concluderen dat hier een lokaal minimum wordt bereikt.

b)

We schetsen de grafiek rond deze punten.

Je kunt direct zien welke y-waarden (het bereik) de grafiek kan innemen, minimaal x = -3 m.a.w. f(-3) en maximaal het zojuist berekende x = -√2 m.a.w. f(-√2). Dus het bereik is [-9,4√2].

Het bereik op het domein [0,4] kun je nu zelf oplossen.

Indien je er niet uit zou komen, of een andere vraag wilt stellen kom dan gerust terug (klik op 'reageer').

Groetjes,

Davy.

maandag 25 augustus 2003

©2001-2024 WisFaq