Convergentie van rijen

als je een functie hebt in de vorm van Tn = (an³+bn²+cn+d)/(en³+fn²+gn+h) (waarbij er van a,b,c,d,e ook een aantal nul mogen zijn) zou je aan het functievoorschrift moeten kunnen zien of deze functie convergeert en zo ja, naar welk getal dan.
heeft dit iets te maken met de exponent van n? ik had bedacht dat het zo was. als de n met de hoogste exponent van alle termen in de functie onder de streep staat (in de noemer dus) en er staat geen term met bij n een even hoge exponent in de teller, dan convergeert de rij naar 0. als de term met de hoogste exponent bij n zowel boven en beneden staat, convergeert de rij naar het getal wat ontstaat als je de cooficienten van deze twee termen (a,b,c,d,e etc) door elkaar deelt. dus de cooficient van boven / de cooficient van onder.
in alle andere gevallen treedt er geen convergentie op.
klopt dit.? en zo ja, hoe kan ik bewijzen dat dit klopt. zo nee, hoe zit het dan?

Mirjam
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 25 augustus 2003

Antwoord

Hallo Mirjam,
Dat klopt inderdaad.

Hoe kan je dat bewijzen? Eerst het geval waarbij er convergentie is maar niet naar nul, dus de hoogste macht van de teller is gelijk aan die van de noemer. Dan kan je in teller en noemer die macht afzonderen
vb n³(a + b/n + c/n² + d/n³)/n³(e + f/n + g/n² + h/n³), je schrapt de tweemaal n³ en je laat n naar oneindig gaan zodat alle termen zoals b/n, c/n²,... wegvallen en er alleen maar a/e overblijft. Analoog als a=e=0, of a=b=e=f=0, of a=b=c=e=f=g=0.

Als de hoogste macht van de teller hoger is dan in de noemer, vb e=0, a¹0, zonder dan in teller en noemer de hoogste macht van de noemer af, schrap weer, laat n naar oneindig gaan en dan blijft er in de teller nog iets over als an+b, en in de noemer blijft enkel bijvoorbeeld f staan. Teller gaat naar oneindig, noemer is eindig, dus geen convergentie.

Als de hoogste macht van de teller lager is dan in de noemer, zonder dan de hoogste macht van de teller af, schrap, limiet nemen, en dan blijft er in de noemer iets oneindig staan, en in de teller iets eindigs, wat dus inderdaad nul geeft.

Groeten,
Christophe.

Christophe
maandag 25 augustus 2003

©2001-2024 WisFaq