Vectoren

Ik heb een vraag:

Gegeven zijn de lijn l: x- = (1,2,-2) + u (1,1,0) en het vlak V: x + 2y + 2z = 4.

Bepaal het snijpunt S van l en V (kwam ik uit).

Toon aan dat de hoek O tussen l en V gelijk is aan p/4 (moet je volgens mij de formule: a*b=|a||b|cosO gebruiken, maar kom ik niet uit).

Bepaal de Cartesische vergelijking van het vlak W door l en loodrecht op V (kom ik echt helemaal niet uit, alle theorie in het boek doorgelezen, maar staat niets over vermeld, welke richting kan ik op?).

De afstand van de oorsprong tot V (de afstand van een punt tot de oorsprong kom ik uit, maar van een vlak tot de oorsprong?).

Alvast bedankt!

Jeroen
Student universiteit - zondag 24 augustus 2003

Antwoord

Alle vragen waar je niet helemaal uitgekomen bent berusten op het volgende:
Het vlak ax+by+cz=d heeft normaalvector (a,b,c)
(Een normaalvector van een vlak staat loodrecht op dat vlak.)

Vlak V heeft dus normaalvector n=(1,2,2)
-Hoek tussen l en V:
l heeft richtingsvector (1,1,0)
Bepaal nu eerst de hoek tussen deze richtingsvector en de normaalvector van V:
(1,1,0)·(1,2,2)=|(1,1,0)|·|(1,2,2)|(cos($\angle$(l,n))
Dit levert 3=√2√9(cos($\angle$(l,n))
Conclusie (cos($\angle$(l,n))=1/√2 $\Rightarrow$ de hoek tussen l en n is 45 graden. De hoek tussen l en V is dus 90-45=45 graden (of $\pi$/4)

-De vergelijking van het vlak door l loodrecht op V.
Methode: Bepaal een normaalvector van het vlak en kijk of je nog een punt weet.
Dat punt is helder uit l=(1,2,-2)+u(1,1,0) volgt dat (1,2,-2) in het vlak ligt.
Nu de normaalvector.
Omdat l in het vlak ligt is (1,1,0) een richtingsvector van het gezochte vlak. Omdat het gezochte vlak loodrecht staat op V moet de normaalvector(1,2,2) van V een richtingsvector van het gezochte vlak zijn.
De gezochte normaalvector (a,b,c) van het vlak staat loodrecht op deze twee richtingsvectoren, dus moet gelden:
(a,b,c)(1,1,0)=0 dus a+b=0
(a,b,c)(1,2,2)=0 dus a+2b+2c=0
Dit zijn 2 vergelijkingen met 3 onbekenden er kan dus 1 vrij worden gekozen, b.v. c. Kies hiervoor 1, daarna het stelsel oplossen levert (a,b,c)=(2,-2,1).
Het vlak heeft dus vergelijking: 2x-2y+z=d, nu nog even het punt (1,2,-2) invullen en dan ben je klaar.

-Afstand van V tot oorsprong:
Als je weet welk punt van V het dichtst bij O ligt ben je klaar. Noem dit punt even S.
Er moet dus gelden OS$\bot$V.
De lijn OS heeft als richtingsvector de normaalvector van V en gaat door O. OS heeft dus als vectorvoorstelling:
(x,y,z)=t(1,2,2).
S is het snijpunt van OS en V. De coordinaten van S kun je berekenen en daarna de lengte van OS uitrekenen en dat is de gezochte afstand.
(P.S. Er is ook een formule voor de afstand van een punt tot een vlak, kijk maar eens of deze ergens in je boek of aantekeningen staat .)

maandag 25 augustus 2003

©2001-2024 WisFaq