Cycloïde

Dag Wisfaq,

Een mathematische slinger heeft een periode (trillingstijd) T=2·pi·sqrt(lengte/valversnelling). Dat deze periode onafhankelijk is van de amplitudo, geldt alleen bij een kleine amplitudo, zodat voor de tophoek geldt q@sinq.

Om de periode ook bij grote tophoeken onafhankelijk te maken van de tophoek, kunnen bij het ophangpunt aan weerszijden van de draad "wangen" aan het "plafond" worden bevestigd die elk de vorm hebben van een halve cycloïde (ondersteboven). Tijdens het slingeren komt de draad tegen zo'n wang, waardoor de effectieve slingerlengte (het gedeelte van het koord schuin onder het raakpunt aan de wang) afneemt.

Vraag: hoe toon ik aan dat de baan die de slingerende puntmassa onderaan het koord beschrijft, een cycloïde is (voortgebracht door een cirkel met dezelfde straal als bij de wangen)?

Aangezien een cycloïde een tautochrone kromme is (tijd naar het diepste punt onafhankelijk van het startpunt), zal de periode met de wangen inderdaad onafhankelijk zijn van de amplitudo.
Dank, Jaap

Jaap
Docent - woensdag 13 augustus 2003

Antwoord

Als ik het goed begrijp, is je vraag hoe je aan kunt tonen dat de baan van de massa een cycloide is, GEGEVEN het feit dat de "wangen" een cycloide zijn.

Pfoe, het was een heel gepuzzel, maar ik heb geloof ik wel wat gevonden.
Hou je vast, het wordt een hele afleiding!
We gaan van de onderstaande situatieschets uit:



De situatie is hier fysisch gezien op z'n kop getekend, maar wiskundig is het wat makkelijker, en het maakt voor het principe niet uit.
- L is de lengte van het koord, met massa m aan het uiteinde.
- wanneer het koord slingert, wordt het (deels) om de cycloide gebogen.
s(t) is het gedeelte van het koord dat contact met de cycloide maakt;
s*=L-s(t) is het gedeelte van het koord dat geen contact maakt.
- f is de hoek die dit 'losse' gedeelte maakt met de horizontaal.

voor de cycloide geldt:
x_c(t)=a(t-sint)
y_c(t)=a(1-cost)

Wat we gaan doen, is dat we proberen te achterhalen welke baan m beschrijft als functie van t.

eerst willen we s(t) weten.
s(t)=òÖ((dx)²+(dy)²) (intgr. van 0 tot t)
= òÖ(1+(dy/dx)²)dx

dy/dt=a.sint; dx/dt=a-a.cost
Þ dy/dx=sint/(1-cost) Þ (dy/dx)²=sin²t/(1-cost)²
Þ 1+(dy/dx)²={sin²t+(1-cost)²}/(1-cost)²=(2-2cost)/(1-cost)² = 2/(1-cost)
Þ Ö(1+(dy/dx)²) = Ö(2/(1-cost))

dx=d(at-asint)=(a-acost)dt
nu kunnen we de integraal uitrekenen:
s(t)=òÖ(1+(dy/dx)²)dx
= ò{Ö(2/(1-cost))}.(a-acost)dt
= aÖ2.òÖ(1-cost)dt
= aÖ2.òÖ(2sin²(¹/₂t))dt=...
= 4a-4a.cos(¹/₂t)

(waarbij ik gebruik gemaakt heb van: cos2t=1-2sin²t, en dus
cost=1-2sin²(¹/₂t))

Nu weten we ook de lengte van S^*:
S^*=L-S(t)=L-4a+4a.cos(¹/₂t)

We kunnen alvast wat zeggen over de coordinaten van m als functie van t:
x_m(t)=x_c(t)+S^*.cosf
y_m(t)=y_c(t)+S^*.sinf

hoe komen we aan sinf en cosf?
Wel, we weten tanf=(dy/dx)=sint/(1-cost)
dit kunnen we weergeven in onderstaande schets:

Waarbij de lengte van de schuine zijde uiteraard volgt uit Pythagoras.
dus cosf=(1-cost)/Ö(2-2cost)
en sinf=sint/Ö(2-2cost)

nu dan de coordinaten x_m(t) en y_m(t):

x_m(t)=x_c(t)+S^*.cosf
=(at-a.sint) + (L-4a+4a.cos(¹/₂t)).{1-cost}/Ö(2-2cost)
=at-a.sint + (L-4a)cosf + (4a.cos(¹/₂t)).{Ö(1-cost)}/Ö2
= at-a.sint + (L-4a)cosf + (4a.cos(¹/₂t)).{Ö2.sin(¹/₂t)}/Ö2
= at-a.sint + (L-4a)cosf + 2a.2sin(¹/₂t)cos(¹/₂t)
= at-a.sint+2a.sint + (L-4a)cosf
= at+a.sint + (L-4a)cosf

y_m(t)=y_c(t)+S^*.sinf
=(a-a.cost)+(L-4a)cosf+4a.cos(¹/₂t).sint/(Ö2Ö(1-cost))
=(a-a.cost)+(L-4a)cosf+4a.cos(¹/₂t).{2sin(¹/₂t)cos(¹/₂t)}/(Ö2Ö2.sin(¹/₂t))
=(a-a.cost)+(L-4a)cosf+4a.cos²(¹/₂t)
=(a-a.cost)+(L-4a)cosf+2a+2a.cost
=3a+a.cost+(L-4a)cosf

(waarbij gebruik gemaakt is van sin2t=2sintcost en dus
sint=2sin(¹/₂t)cos(¹/₂t). En van cos2t=2cos²t-1 en dus
2cos²(¹/₂t)=cost+1 )

Hieruit blijkt: dat wanneer de lengte L van het koord gelijk is aan 4a, dat het cosf-gedeelte komt te vervallen in de resp. uitdrukkingen voor x_m en y_m en dat je als resultaat ook weer een cycloide krijgt.

groeten,
martijn

mg
vrijdag 15 augustus 2003

©2001-2024 WisFaq