Het spel Set: de kans dat er geen set te vinden is

Wij zijn voor een PO bezig met het spel set.
Dit is een spel met 81 kaarten, waarvan elke kaart 4 eigenschappen heeft.
Kleur, vorm, vulling en aantal.
De bedoeling van het spel is om sets bij elkaar te zoeken.
Sets zijn combinaties van 3 kaarten waarvan elke van de eigenschappen gelijk of verschillend zijn.
Allemaal gelijk kan niet want dan zouden de 3 kaarten gelijk zijn.
zie voor verdere regels: www.setgame.com/set

we waren dus met kansberekening bezig dat je als je 12 kaarten uit het pak kaarten pakt de kans is dat er een set tussen zit.
We hebben uitgerekend dat er 1080 verschillende mogelijke goede sets zijn, en 85320 mogelijke combinaties.
Dit betekend dat 1 opt de 79 combinaties een goede set is.
De kans dat je als je 1 combinatie pakt een set is is dus 1/79
Maar als je 12 kaarten pakt hebt je dus 12 ncr 3= 220 combinaties.
en als je dus simpelweg 220*1/79 doet kom je ver boven de 1 uit, wat volgens ons niet kan...
Bij elke foute combinatie die uit het spel wordt gehaald wordt de kans op een goede set alleen maar groter.
Hoe moeten we dit probleem oplossen?

Menke
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 21 juli 2003

Antwoord

Beste Menke en Mark-Jan,

Dit is een erg interessante vraag. Ik zal proberen jullie op weg te helpen.

Wat er mis ging in jullie redenering
Het is erg goed dat jullie hebben gevonden dat er iets niet klopt in jullie redenering. Nu nog vinden wat er nu niet klopt. Meestal leer je daar nog het meeste van.
Het totale aantal combinaties is natuurlijk ^{.81*80*79 .}/_.(3*2*1). = 511920/6 = 85320 zoals jullie zelf al vonden.
Jullie hebben vast ook al ontdekt dat als je twee willekeurige kaarten kiest er slechts 1 kaart is die het tot een correcte set maakt.
Dus het aantal correcte sets is 81*80/(3*2*1) = 1080. Zoals jullie ook al vonden. Je zou dus kunnen zeggen dat als je drie willekeurige kaarten uit de stapel trekt de kans 1/79 is dat het een correcte set is.
Maar nu naar het geval dat je 12 willekeurige kaarten pakt. Jullie hebben gelijk dat er 220 mogelijkheden zijn om 3 kaarten van deze twaalf te kiezen (12*11*10/6 = 220). Maar dat betekent niet dat je 220*1/79 mag doen. Wat jullie dan eigenlijk doen is 220 keer 1/79 bij elkaar optellen.

Wat jullie hebben gedaan is hetzelfde als het volgende voorbeeld. Stel je hebt drie munten opgegooid (met uitkomst kop of munt). Een goede combinatie is twee gelijken. De kans dat twee munten gelijk zijn is ¹/₂. Kijken we naar drie munten dan zijn er 3 combinaties om 2 munten daaruit te halen. Maar de kans op twee gelijken is niet
3 * ¹/₂ = 1 ¹/₂.
Dat komt omdat de kansen niet onafhankelijk zijn en je ze dus niet zomaar mag optellen.

Hoe dan wel
Er zijn een aantal mogelijke tactieken die je zou kunnen gebruiken om een dergelijk probleem aan te pakken. Je kunt ervoor kiezen om het aantal goede mogelijkheden te bepalen en het totaal aantal mogelijkheden en daar volgt de kans dan uit. Je kunt ook meteen de kans op gebeurtenissen uitrekenen en dan het probleem in kleine stukjes ophakken en de opeenvolgende kansen met elkaar vermenigvuldigen.
Dan moet je ook nog altijd kiezen of het makkelijker is uit te rekenen direct wat je wilt weten of dat de complementaire kans makkelijker is.
Met andere woorden reken je de kans uit dat er tussen de eerste 12 kaarten een SET zit, of de kans dat er tussen de eerste 12 kaarten geen SET te vinden is.

Zelf heb ik er in dit geval voor gekozen om het probleem in stukjes op te hakken. Ik zal dan laten zien hoe je kunt uitrekenen wat de kans is dat er geen SET inzit en wat de kans is dat er wel minstens 1 SET inzit. Als het goed is zijn deze twee kansen samen 1.

De kans dat er bij de eerste 12 kaarten minstens 1 SET zit.
We bekijken het probleem als volgt. Je legt de eerste 12 kaarten om beurten op tafel. Per kaart die we op tafel leggen kijken we of er een SET tussen zit. Zit die er tussen dan hoeven we deze combinatie niet verder te bekijken voor de kansen. Wat ik dus eigenlijk ga doen is de volgende kansen optellen.
- De kans dat er in de eerste 3 kaarten een SET zit
- De kans dat er in de eerste 3 kaarten geen SET zit maar de 4e kaart vormt een SET
- De kans dat er in de eerste 4 kaarten geen SET zit maar de 5e kaart vormt een SET
- De kans dat er in de eerste 5 kaarten geen SET zit maar de 6e kaart vormt een SET
……………….
- De kans dat er in de eerste 11 kaarten geen SET zit maar de 12e kaart vormt een SET

De kans dat er in de eerste 3 kaarten een SET zit
We trekken twee kaarten. Dan blijven er nog 79 kaarten over in het stapeltje kaarten. Slechts 1 van deze kaarten vormt een SET met de 2 al getrokken kaarten. De kans dat er met de derde kaart dus een SET wordt gevormd is dus 1/79

De kans dat er in de eerste 3 kaarten geen SET zit maar de 4e kaart vormt een SET
De kans dat de derde kaart geen SET maakt is dus 78/79. Dan blijven er nog 78 kaarten over in het stapeltje met ongeopende kaarten. De drie kaarten die er al liggen vormen 3 paren van 2 kaarten. Dus zitten er in de stapel met kaarten 3 kaarten die een SET kunnen maken. De kans dat de eerste 3 kaarten geen SET vormen maar de 4e kaart wel is dus 78/79 * 3/78

De kans dat er in de eerste 4 kaarten geen SET zit maar de 5e kaart vormt een SET
En zo gaan we door: de kans dat er in de eerste 4 kaarten geen SET zit is: 78/79*75/78
Dan blijven er 77 kaarten over in de stapel. Met de vier kaarten die er al liggen kunnen 6 verschillende paren worden gemaakt dus deze kans is 78/79*75/78*6/77

Zo ga je door tot de 12 kaarten zijn “gelegd” (in gedachten). Als je deze kansen optelt heb je de kans dat er minstens 1 SET tussen de eerste 12 kaarten zit.

De kans dat er bij de eerste 12 kaarten geen SET zit.
De kans dat er geen SET tussen zit kun je ook zo per kaart bepalen.
De kans dat er tussen de eerste 3 geen SET zit is. 78/79
De kans bij de eerste 4 kaarten is: 78/79*75/78
De kans bij de eerste 5 kaarten is: 78/79*75/78*71/77
Enzovoort totdat je vindt dat de kans dat er geen SET te vinden is in de eerste 12 kaarten is:
78/79*75/78*71/77*66/76*60/75*53/74*45/73*36/72*26/71*15/70

Internetlink
Op internet is een pagina van het spel SET. Je kunt de pagina vinden via de links van deze pagina onder puzzels. Het is een Engelstalige site, maar er zijn wel een aantal leuke wiskundige bewijzen op te vinden. Misschien kun je ook nog wat van die pagina gebruiken.

dinsdag 29 juli 2003

©2001-2024 WisFaq