Integreer problemen

Beste wisfaq,

ik studeer zelfstandig vwo wiskunde b (oude stijl )van het NTI, en de leerstof dat ik tot mijn beschikking heb is Moderne Wiskunde voor de bovenbouw (1991) en een antwoordenboek met alleen de antwoorden en geen uitwerkingen. Nu ben ik bezig met een hf over integralen maar ze geven geen 1 voorbeeld hoe men zo een oefening gedaan moet worden, het enigste dat ze geven zijn een paar standaard primitieven en dan moet je het zelf maar uitzoeken, niks aan de hand...tot dat je vast komt te zitten. ik erger me zo erg aan deze boeken..maar ja ik heb geen keus, kunnen jullie me helpen met de volgende opgaven.

1a) Toon door berekening aan dat voor elke waarde van a0 een door de x-as en de grafiek van fa(x)= a.sin(ax) ingesloten vlakdeel dezelfde oppervlakte heeft.
1b) Probeer dat ook te beredeneren door de invloed van de parameter a op de grafiek van y=sinx te bekijken.

opgave 2) geg: Een ruimteschip beweegt zich in een cirkelvormige baan met straal r om een planeet met straal l.Daarbij ondervindt het van de planeet een aantrekkingskracht F, de gravittatiekracht.

Voor F geldt: F= 12/(r²) in de constante 12 zijn onder andere de massa 's van ruimteschip en de planeet verwerkt.Als eenheid voor r is de straal van de planeet gekozen. De energie W die nodig is om het ruimteschip van een baan met straal a in een hogere baan met straal b te brengen, kan berekend worden als integraal :

W=in a tot met b 12/(r²)dr

a)Bereken de energie die nodig is om het ruimteschip vanaf zijn baan op hoogte r=2 naar een baan op hoogte r=4 te brengen.
B)De raketmotor van het ruimteschip,dat zich op hoogte r=4 bevindt, heeft nog 2 energie-eenheden over.Tot welke hoogte kan hij het ruimte schip nog brengen ?
c)Hoeveel energie eenheden zouden nodig zijn om het ruimteschip vanaf het oppervlak van de planeet tot buiten het bereik van de gravitatiekracht van de planeet te brengen.

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen, u hoeft niet elk antwoord helemaal uit te werken tot het einde (een goed begin is het halve werk )

Timmy
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 30 juni 2003

Antwoord

Hallo,

1a doe je door de functie te integreren tussen 0 en het eerste nulpunt, zijnde p/a. Als je dit doet (en als je ax vervangt door y wordt dit een basisintegraal, namelijk die van de sinus), dan kom je een resultaat uit dat onafhankelijk is van a, met andere woorden: voor elke a is de oppervlakte tussen de x-as en één boogje, dezelfde.

1b vraagt naar de inzichtelijke verklaring. Wel, als je f_a(x) vergelijkt met sin(x), dan zie je dat één boog a keer korter wordt (dat komt door die ax), maar ook a keer hoger (dat komt door die a voor de sinus). Deze twee effecten heffen elkaar op.

2a is niet moeilijk: het is de integraal van 12/r² tussen a, zijnde 2, en b, zijnde 4. En r^-2 integreren is ook een basisintegraal want van de vorm rⁿ

2b Stel dat het schip tot r=x kan raken, dan betekent dit dat W(van 4 tot x) = 2.
Dus ò₄^x 12/r² dr = 2. Als je dit uitwerkt, komt er een vergelijking in x die oplosbaar zou moeten zijn (let er wel op dat de oplossing groter dan 4 moet zijn!)

2c Het oppervlak van de planeet heeft r=1. Buiten het gravitatieveld, betekent tot op plus oneindig... Dus als je de integraal van 1 tot ¥ van die 12/r² uitrekent, heb je de gevraagde W.

Zo, als er nog problemen zijn hoor ik het wel,

Groeten,
Christophe.

Christophe
maandag 30 juni 2003

©2001-2024 WisFaq