De periode van het omgekeerde van priemgetallen

Hoi,

Ik heb een vraagje. Voor mijn praktische opdracht moet ik onderzoeken wat de periode is van 1/p als p een priemgetal is. Ik heb een uitdraai van de periodes van zulke breuken maar ik kan geen regelmaat ontdekken. Mischien kunt u mij helpen.

Nikola
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 26 juni 2003

Antwoord

Hallo,

Daar zit inderdaad niet al te veel regelmaat in. Wel is het zo dat er een aantal zijn waar de periode juist p-1 cijfers telt, en dat is het theoretische maximum, meer kan absoluut nooit. Dat is bijvoorbeeld zo bij p = 7,17,19,23,29,47. Waar het niet zo is, bijvoorbeeld bij p = 11,13,31,37,41,43,53, zal je wel altijd zien dat de periodelengte een deler is van p-1. (in volgorde: 2,6,15,3,5,21,26).

Wat ook best wel interessant is, is dat in het eerste geval (dus met lengte p-1), je mooie resultaten krijgt als je kijkt naar q/p, met q gaande van 1 tot p-1. Dan krijg je immers altijd dezelfde periode, maar ze zal altijd starten op een andere plek in die periode, bv:
bij 1/7 is de periode 142857, dan wordt:
1/7 = 0.142857...
2/7 = 0.285714...
3/7 = 0.428571...
4/7 = 0.571428...
5/7 = 0.714285...
6/7 = 0.857142...
En zulke resultaten krijg je altijd als de periodelengte p-1 is.

NB de periodelengte hangt natuurlijk ook af van welk getallenstelsel je gebruikt: in het binaire stelsel is de periode van 1/5 bijvoorbeeld gelijk aan 4.

Ik hoop dat je er iets aan hebt,
Groeten,
Christophe.

Christophe
donderdag 26 juni 2003

©2001-2024 WisFaq