Derdegraads met parameters

Een vraag van een toelatingsexamen:

http://www.ond.vlaanderen.be/arts-tandarts/pdf/1997/wiskunde.pdf

vraag 9

Hoe kan ik deze zonder formules (want die krijg je niet op het toelatingsexamen) wiskundig - zonder gokken - oplossen. Gelieve de 2e en 3e mogelijkheid te overlopen.
Danku

Compug
3de graad ASO - vrijdag 20 juni 2003

Antwoord

A) Juist, want als a=0 wordt f een veeltermfunctie van de tweede graad en die heeft hoogstens twee nulpunten. Merk op dat "bcd niet nul" zoveel wil zeggen als "b, c en d niet nul", dus de veelterm is er zeker een van de tweede graad, niet van een lagere.

B) Juist. Stop d = -2c/3 in de vergelijking. Als we x=1 stellen bekomen we f(1)=0. Zelfde voor x=-1.

D) Juist. Stel a=2 en je vindt dat f(-b/3)=0.

Mogelijkheid C moet nu wel fout zijn. Je zou een tegenvoorbeeld kunnen zoeken, wat nog niet hetzelfde is als gokken. Stel bijvoorbeeld a=0 en b=c=d=1. In dat geval heeft de veelterm niet eens reele nulpunten (wel complexe, en die zijn inderdaad tegengesteld)

Je zou ook iets meer werk kunnen doen en proberen de veelterm te factoriseren. Dat had je in het begin al kunnen doen, maar A, B en D waren zo concreet gesteld dat die direct konden worden gecontroleerd.

6acx³ + 4bcx² + 9adx + 6bd

Omdat de (6acx³)(6bd) = (4bcx²)(9adx) heeft onze poging tot factorisatie veel kans op slagen.

3ax(2cx²+3d) + 2b(2cx²+3d)
(3ax+2b)(2cx²+3d)

Hieruit kan je nu ook onmiddellijk de juistheid van A, B en D afleiden en het fout zijn van C. Want als cd0 dan is d/c0 en dus heeft x² = -(3/2)(d/c) geen reele oplossingen. Als cd0 was geweest dan waren er wel reele oplossingen, die daarenboven tegengesteld waren aan elkaar.

vrijdag 20 juni 2003

©2001-2024 WisFaq