Re: Laplace vergelijking - Beginwaardeprobleem

Dit is een reactie op vraag 12374

Naar aanleiding van uw hint ben ik op het volgende gekomen, echter kom ik nog steeds niet bij het goede antwoord, kunt u nogmaals helpen?
Als ik substitueer z = y cos(x) en z’ = y (-sin(x)) + y’cos(x) in de volgende d.v. :

y’- y tan(x) = 2 sin(x)cos(x)

en het rechterlid vervang door sin(2x) dan krijg ik de volgende vergelijking (?):

-y sin(x) + y’ cos(x) – y tan(x)cos(x) = sin(2x)
y’ cos(x) – 2y sin(x) = sin(2x)

In Laplace notatie wordt dit (?):

cos(x) [ s L{y} – y(0) ] – sin(x) [ L{y} ] = sin(2x)

De transformatie wordt (?):

L{y} = Y(s) = [ sin(2x) + 5 cos(x) ] / [ s cos(x) – sin(x) ]

Uitgewerkt:

L{y} = Y(s) = [ 2 /(s^2 + 2^2) + 5 s / (s^2 + 1^2) ] / [ ( s^2 – 1) / (s^2 + 1^2)]

Dit levert op:

y(x) = sin(2x) * cosh^2(x) + sin(2x) * sinh(x) + 5 cosh(x)

Hoe kom ik vanuit hier naar de oplossing:
y(x) = -2/3 cos^2(x) + 17/(3 cos(x))
En waar ben ik de fout ingegaan?

Met vriendelijke groet,
Bram

Bram
Student universiteit - zondag 15 juni 2003

Antwoord

Het probleem zit hem in het feit, dat je niet zomaar de getransformeerde van een product kunt berekenen, door beide factoren apart te transformeren en de resultaten te vermenigvuldigen.
Dus die eerste stap in het transformeren is al fout.
Bovendien zie ik nergens waar je de z (van de substitutie) gelaten hebt.
Als je de oorspronkelijke vergelijking vermenigvuldigt met cos(x), dan krijg je:
y'·cos(x) - y·sin(x) = 2·sin(x)·cos²(x)
Het hele rechterlid kun je nu dus vervangen door z', zoals je al correct had uitgewerkt.
Dus:
z' = 2·sin(x)·cos²(x)
Het is nu dus alleen een kwestie geworden van integreren.
De integraal kun je bijvoorbeeld uitrekenen met een substitutie u = cos(x).
Oplossing:
z = -²/₃·cos³(x) + C
dus y = ^z/_cos(x) = -²/₃·cos²(x) + ^C/_cos(x)
Om de C te kunnen berekenen, vul je y(0) = 5 in, wat leidt tot C = ¹⁷/₃.

Ik zie niet direct hoe je dit met Laplace zou moeten doen.
groet,

maandag 16 juni 2003

©2001-2024 WisFaq