Een cirkel en raaklijnen

Hoi,

Ik heb natuurlijk nog een probleempje... Sorry hoor,

De rechte a raakt de cirkel (M,r) in het punt A met co(A)= (0,2) en a: x-2y+4=0
De rechte b raakt dezelfde cirkel in het punt B met co(B)= (3,-1) en b: y=2x-7

Bepaal co (M) en stel een vgl op van c (M,r)

-- ik heb dit dus zitten uitproberen met 2 stelstel, maar dan kom ik iets uit dat helemaal niet klopt! Normaal kan het niet zo moeilijk zijn, maar weten jullie de juist manier?

Bedankt

A.
2de graad ASO - donderdag 12 juni 2003

Antwoord

Het idee is dat het middelpunt M ligt op het snijpunt van de lijnen die allebei loodrecht op de raaklijnen staan.

We moeten dus, uitgaande van de vergelijkingen van de raaklijnen, de vergelijkingen opstellen van de lijnen die hier loodrecht op staan.

We maken daarbij gebruik van het gegeven dat wanneer 2 lijnen loodrecht op elkaar staan, het produkt van de richtingscoefficienten gelijk aan -1 moet zijn.
Dus zie je bijv. een lijnvergelijking als y=3x+100 dan weet je GELIJK dat de lijn hier loodrecht op, als richtingscoefficient -¹/₃ heeft. Want 3.-¹/₃=-1

1. x-2y+4=0 Û 2y=x+4 Û y=¹/₂x+2.
De lijn hier loodrecht op, door (0,2) is
y=-2x+b. (0,2) invullen levert b=2.
dus y=-2x+2

2. y=2x-7
De lijn hier loodrecht op, door (3,-1) is
y=-¹/₂x+b. (3, -1) invullen levert b=¹/₂
dus y=-¹/₂x+¹/₂

Nu gaan we de 2 verkregen lijnen snijden zodat we de coordinaten van M te weten komen.
y=-¹/₂x+¹/₂
y=-2x+2
van elkaar aftrekken: 0=1¹/₂x-1¹/₂ Þ x=1
en dus is y=0

M(1,0)

De straal van de cirkel volgt uit de afstand tussen M en één van de raakpunten bijv (0,2)
r=Ö(2²+1²)=Ö5

Nu weet je voldoende om de vergelijking van de cirkel op te stellen...

(x-1)²+y²=5
groeten,
martijn

mg
donderdag 12 juni 2003

©2001-2024 WisFaq